單調性

函式的單調性（monotonicity）也可以叫做函式的增減性。當函式 f(x) 的自變數在其定義區間內增大（或減小）時，函式值f(x)也隨著增大（或減小），則稱該函式為在該區間上具有單調性。

基本介紹

• 中文名：單調性
• 外文名：monotonicity
• 類型：函式性質
• 學科：數學
• 套用領域：函式
• 別名：增減性

定義

函式的單調性（monotonicity）也叫函式的增減性，可以定性描述在一個指定區間內，函式值變化與自變數變化的關係。當函式f(x) 的自變數在其定義區間內增大（或減小）時，函式值也隨著增大（或減小），則稱該函式為在該區間上具有單調性（單調增加或單調減少）。在集合論中，在有序集合之間的函式，如果它們保持給定的次序，是具有單調性的。

如果說明一個函式在某個區間D上具有單調性，則我們將D稱作函式的一個單調區間，則可判斷出：

• D⊆Q（Q是函式的定義域）。
• 區間D上，對於函式f(x)，∀（任取值）x₁，x₂∈D且x₁>x₂，都有f(x₁) >f(x₂)。或，∀ x₁，x₂∈D且x₁>x₂，都有f(x₁) <f(x₂)。
• 函式圖像一定是上升或下降的。
• 該函式在E⊆D上與D上具有相同的單調性。

注意：函式單調性是針對某一個區間而言的，是一個局部性質。因此，說單調性時最好指明區間。

有些函式在整個定義域內是單調的；有些函式在定義域內的部分區間上是增函式，在部分區間上是減函式；有些函式是非單調函式，如常數函式。

函式的單調性是函式在一個單調區間上的“整體”性質，具有任意性，不能用特殊值代替。

在利用導數討論函式的單調區間時，首先要確定函式的定義域，解決問題的過程中只能在定義域內，通過討論導數的符號來判斷函式的單調區間。

如果一個函式具有相同單調性的單調區間不止一個，那么這些單調區間不能用“∪”連線，而只能用“逗號”或“和”字隔開。

單調函式

一般地，設一連續函式 f(x) 的定義域為D，則

• 如果對於屬於定義域D內某個區間上的任意兩個自變數的值x₁，x₂∈D且x₁>x₂，都有f(x₁) >f(x₂)，即在D上具有單調性且單調增加，那么就說f(x) 在這個區間上是增函式。
• 相反地，如果對於屬於定義域D內某個區間上的任意兩個自變數的值x₁，x₂∈D且x₁>x₂，都有f(x₁) <f(x₂)，即在D上具有單調性且單調減少，那么就說 f(x) 在這個區間上是減函式。

則增函式和減函式統稱單調函式。

性質

圖象性質

函式圖象

函式單調性的幾何特徵：在單調區間上，增函式的圖象是上升的，減函式的圖象是下降的。

• 當x1 < x2時，都有f(x1)<f(x2) 等價於 ；
• 當x1 < x2時，都有f(x1)>f(x2) 。
• 如上圖右所示，對於該特殊函式f(x)，我們不說它是增函式或減函式，但我們可以說它在區間 [x₁，x₂]上具有單調性。

運算性質

• f(x)與f(x)+a具有相同單調性；
• f(x)與 g(x) = a·f(x)在 a>0 時有相同單調性，當 a<0 時，具有相反單調性；
• 當f(x)、g(x)都是增（減）函式時，若兩者都恆大於零，則f(x)×g(x)為增（減）函式；若兩者都恆小於零，則為減（增）函式；
• 兩個增函式之和仍為增函式；增函式減去減函式為增函式；兩個減函式之和仍為減函式；減函式減去增函式為減函式；函式值在區間內同號時， 增（減）函式的倒數為減（增）函式。

判斷方法

1、圖象觀察法

如上所述，在單調區間上，增函式的圖象是上升的，減函式的圖象是下降的。因此，在某一區間內，一直上升的函式圖象對應的函式在該區間單調遞增；

一直下降的函式圖象對應的函式在該區間單調遞減；

兩個分段函式

注意：對於分段函式，要特別注意。例如，上圖左可以說是一個增函式；上圖右就不能說是在定義域上的一個增函式（在定義域上不具有單調性）。

2、定義法

根據函式單調性的定義，在這裡只闡述用定義證明的幾個步驟:

①在區間D上，任取 , ，令 ;

②作差 ；

③對 的結果進行變形處理(通常是配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等等)；

④確定符號 的正負；

⑤下結論，根據“同增異減”原則，指出函式在區間上的單調性。

3、等價定義法

設函式 的定義域為D，在定義域內任取 , ，且 ，若 >0，則函式單調遞增；若有 <0，則函式單調遞減(證明從略)，以上是函式單調性的第二定義。

4、求導法

導數與函式單調性密切相關。它是研究函式的另一種方法，為其開闢了許多新途徑。特別是對於具體函式，利用導數求解函式單調性，思路清晰，步驟明確，既快捷又易於掌握，利用導數求解函式單調性，要求熟練掌握基本求導公式。

如果函式y=f(x)在區間D內可導(可微)，若x∈D時恆有f'(x)>0，則函式y=f(x)在區間D內單調增加；反之，若x∈D時，f'(x)<0,則稱函式y=f(x)在區間D內單調減少。

5、複合函式法

在函式y=f[g(x)]的定義域內，令u=g(x)，則y=f[g(x)]的單調性由u=g(x)與y=f(x)的單調性共同確定，方法如下

u=g(x)	y=f(x)	y=f[g(x)]
增函式	增函式	增函式
減函式	減函式	增函式
增函式	減函式	減函式
減函式	增函式	減函式

因此，複合函式的單調性可用“同增異減”來判定，但要考慮某些特殊函式的定義域。

註：y=f(x)+g(x)不屬於複合函式，因此不在此方法的適用範圍內。

套用

利用函式單調性可以解決很多與函式相關的問題。通過對函式的單調性的研究，有助於加深對函式知識的把握和深化，將一些實際問題轉化為利用函式的單調性來處理。因此對函式單調性的討論小僅有重要的理論價值，而且具有很好的套用價值。本文結合一些典型例題分析說明函式單調性的套用，如利用函式的單調性求最值、解方程、證明小等式等。

1、利用函式單調性求最值

求函式的最大(小)值有多種方法，但基本的方法是通過函式的單調性來判定，特別是對於小可導的連續點，開區問或無窮區問內最大(小)值的分析，一般都用單調性來判定。

2利用函式單調性解方程

函式單調性是函式一個非常重要的性質，由於單調函式 中x與y是一對應的，這樣我們就可把複雜的方程通過適當變形轉化為型如“ ”方程，從而利用函式單調性解方程x=a，使問題化繁為簡，而構造單調函式是解決問題的關鍵。

3、利用函式單調性證明不等式

首先，根據小等式的特點，構造一個單調函式；其次，判別此函式在某區問[a,b]上為單調函式；最後，由單調函式的定義得到我們要證明的小等式。