減函式

函式f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變數的值x1,x2 ，當x1<x2時，都有f(x1)> f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函式，並稱區間D為遞減區間。減函式的圖像從左往右是下降的，即函式值隨自變數的增大而減小。判斷一個函式是否為減函式可以通過定義法、圖像法、直觀法或利用該區間內導數值的正負來判斷。

基本介紹

• 中文名：減函式
• 外文名：Decreasing function
• 套用學科：數學，物理，化學
• 適用領域範圍：高中
• 性質：函式值隨自變數的增大而減小
• 注意事項：必須先求定義域

定義

一般地，設函式f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變數的值x1,x2，當x1<x2時，都有f(x1)> f(x2),那么就說f(x)在區間D上是減函式。即隨著自變數x增大，函式值y減小的函式為減函式。

單調性

單調性的定義

如果函式y=f(x)在區間D上是增函式或減函式，那么就或函式y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D就叫做函式y=f(x)的單調區間。

單調性的證明

用定義法證明單調性的步驟：

（1）任取x1,x2∈D，且滿足x1<x2；

（2）作差f(x1)-f(x2)；

（3）變形（通常是因式分解和配方）；

（4）定號（即判斷f(x1)-f(x2)的正負）；

（5）下結論（指出函式f(x)在給定的區間D上的單調性）。

在證明函式為減函式時，只需要證明：當x1<x2時f(x1)-f(x2)>0。在減函式的圖像中，函式圖像從左往右是下降的，即函式值隨自變數的增大而減小。

單調性的判斷方法

（1）定義法：即“取值（定義域內）→作差→變形→定號→判斷”；

（2）圖像法：先作出函式圖像，利用圖像直觀判斷函式的單調性；

（3）直接法：就是對於我們所熟悉的函式，如一次函式、二次函式、反比例函式等，直接寫出它們的單調區間。

（4）求導法：假定函式f在區間[a,b]上連續且在(a,b)上可微，若每個點x∈(a,b)有f'(x)>0，則f在[a,b]上是遞增的；若每個點x∈(a,b)有f'(x)<0，則f在[a,b]上是遞減的。

注意事項

（1）函式的單調性是對函式定義域內的某個子區間而言的，是函式的局部性質；

（2）函式f(x)在給定區間上的單調性是函式在該區間上的整體性質；

（3）函式的單調性定義中x1,x2有三個特徵：任意性、有大小、屬於同一個單調區間；

（4）求函式的單調區間，必須先求定義域。

（5）區間端點的寫法：對於單獨的一點，由於它的函式值是唯一確定的常數，沒有增減變化，所以不存在單調性問題，因此在寫單調區間時，可以包括端點，也可以不包括端點，但對於某些點無意義時，單調區間就不包括這些點。

性質

（1）增函式+增函式=增函式；

（2）減函式+減函式=減函式；

（3）增函式-減函式=增函式；

（4）減函式-增函式=減函式。

實例

判斷函式y=-x^3的單調性。

解：易得該函式是整函式，故定義域為R。

（1）利用定義法來判斷該函式的單調性。

任取x1,x2∈R，且滿足x1<x2，則有：

最終兩個因式中第一個因式小於零，第二個因式恆大於零，且兩因式前有一個負號，故有f(x1)-f(x2)>0，即有：當x1-x2<0時，有f(x1)-f(x2)>0，故該函式在R上為減函式。

（2）利用圖像法來判斷。

對於常見函式y=x^3的圖像，如右圖所示，易得該函式圖像從左往右看是上升的趨勢，故該函式在定義域R上為增函式。而函式y=-x^3與y=x^3相差一個負號，在圖象表示為關於x軸對稱，故易得函式y=-x^3的圖像從左往右看是下降的趨勢，因此函式y=-x^3在定義域R上為一個減函式。

y=x^3的圖像

（3）利用求導法來判斷。

對函式進行求導，得恆成立，故有該函式在定義域R上為減函式。