反函式

一般來說，設函式y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一個函式g(y)在每一處g(y)都等於x，這樣的函式x= g(y)(y∈C)叫做函式y=f(x)(x∈A)的反函式，記作y=f^(-1)(x) 。反函式y=f ^(-1)(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函式就是對數函式與指數函式。

一般地，如果x與y關於某種對應關係f（x）相對應，y=f（x），則y=f（x）的反函式為x=f (y)或者y=f﹣¹（x）。存在反函式(默認為單值函式）的條件是原函式必須是一一對應的（不一定是整個數域內的）。注意：上標"−1"指的是函式冪，但不是指數冪。

基本介紹

• 中文名：反函式
• 外文名：Inverse Function
• 表達式：y=f ^(-1)(x)
• 特點：可逆性
• 適用領域：解析幾何學、代數學
• 套用學科：數學

定義

設函式y=f(x)的定義域是D，值域是f(D)。如果對於值域f(D)中的每一個y，在D中有且只有一個x使得g(y)=x，則按此對應法則得到了一個定義在f(D)上的函式，並把該函式稱為函式y=f(x)的反函式，記為

由該定義可以很快得出函式f的定義域D和值域f(D)恰好就是反函式f^-1的值域和定義域，並且f^-1的反函式就是f，也就是說，函式f和f^-1互為反函式，即：

反函式與原函式的複合函式等於x，即：

習慣上我們用x來表示自變數，用y來表示因變數，於是函式y=f(x)的反函式通常寫成。

例如，函式的反函式是。

相對於反函式y=f^-1(x)來說，原來的函式y=f(x)稱為直接函式。反函式和直接函式的圖像關於直線y=x對稱。這是因為，如果設(a,b)是y=f(x)的圖像上任意一點，即b=f(a)。根據反函式的定義，有a=f^-1(b)，即點(b,a)在反函式y=f^-1(x)的圖像上。而點(a,b)和(b,a)關於直線y=x對稱，由(a,b)的任意性可知f和f^-1關於y=x對稱。

於是我們可以知道，如果兩個函式的圖像關於y=x對稱，那么這兩個函式互為反函式。這也可以看做是反函式的一個幾何定義。

在微積分里，f ⁽ⁿ⁾(x)是用來指f的n次微分的。

若一函式有反函式，此函式便稱為可逆的（invertible）。

存在性

概述

一函式f若要是一明確的反函式，它必須是一雙射函式，即：

• （單射）陪域上的每一元素都必須只被f映射到一次：不然其反函式將必須將元素映射到超過一個的值上去。
• （滿射）陪域上的每一元素都必須被f映射到：不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函式。

若f為一實變函式，則若f有一明確反函式，它必通過水平線測試，即一放在f圖上的水平線必對所有實數k，通過且只通過一次。

反函式存在定理

定理：嚴格單調函式必定有嚴格單調的反函式，並且二者單調性相同。

在證明這個定理之前先介紹函式的嚴格單調性。

設y=f(x)的定義域為D，值域為f(D)。如果對D中任意兩點x₁和x₂，當x₁<x₂時，有y₁<y₂，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞增；當x₁<x₂時，有y₁>y₂，則稱y=f(x)在D上嚴格單調遞減。

證明：設f在D上嚴格單增，對任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由於f的嚴格單增性，對D中任一x'<x，都有y'<y；任一x''>x，都有y''>y。總之能使f(x)=y的x只有一個，根據反函式的定義，f存在反函式f^-1。

任取f(D)中的兩點y₁和y₂，設y₁<y₂。而因為f存在反函式f^-1，所以有x₁=f^-1(y₁)，x₂=f^-1(y₂)，且x₁、x₂∈D。

若此時x₁≥x₂，根據f的嚴格單增性，有y₁≥y₂，這和我們假設的y₁<y₂矛盾。

因此x₁<x₂，即當y₁<y₂時，有f^-1(y₁)<f^-1(y₂)。這就證明了反函式f^-1也是嚴格單增的。

如果f在D上嚴格單減，證明類似。

性質

（1）函式存在反函式的充要條件是，函式的定義域與值域是一一映射；

函式及其反函式的圖形關於直線y=x對稱

（2）一個函式與它的反函式在相應區間上單調性一致；

（3）大部分偶函式不存在反函式（當函式y=f(x)， 定義域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常數），則函式f(x)是偶函式且有反函式，其反函式的定義域是{C}，值域為{0} ）。奇函式不一定存在反函式，被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函式。若一個奇函式存在反函式，則它的反函式也是奇函式。

（4）一段連續的函式的單調性在對應區間內具有一致性；

（5）嚴增（減）的函式一定有嚴格增（減）的反函式；

（6）反函式是相互的且具有唯一性；

（7）定義域、值域相反對應法則互逆（三反）；

（8）反函式的導數關係：如果x=f(y)在開區間I上嚴格單調，可導，且f'(y)≠0，那么它的反函式y=f^-1(x)在區間S={x|x=f(y),y∈I }內也可導，且：

（9）y=x的反函式是它本身。

反函式的符號

反函式的符號記為f ^-1(x)，在中國的教材里，反三角函式記為arcsin、arccos等等，但是在歐美一些國家，sinx的反函式記為sin^-1(x)。

x^-1表示1/x，那么f^-1(x)與這是否有些關係呢？下面舉幾個例子來說明這點。當然，f^-1(x)肯定和1/f(x)不等，但是確實有與之很相近的性質。

（1）反函式的反函式

為了好看以及對比，我有時會把f(x)寫成f對比，我把我想各位應該很好理解，反函式的反函式當然就是原函式，寫成數學語言就是(f^-1)^-1=f。看看，這是不是有點像指數的運算法則：1/x^-1=x呢？

（2）反函式的導函式

如果函式x=f(y)在區間Iy內單調、可導且f '(y)不等於零，則它的反函式y=f^-1(x)在區間內也可導，且或。

用自然語言來說就是，反函式的導數，等於直接函式導數的倒數。這話有點繞，不過應該能讀懂，這個似乎就進一步揭示了反函式符號的意義。

在這裡要說明的是，y=f(x)的反函式應該是x=f^-1(y)。只不過在通常的情況下，我們將x寫作y，y寫作x，以符合習慣。所以，雖然反函式和直接函式不互為倒數，但是各自導函式求出後，二者卻是互為倒數。

（3）反函式的複合函式

這個內容屬於高等數學的內容了。大夥想想函數裡面最簡單最基本的函式是什麼函式？不用說，肯定就是我們的恆等函式y=x，這就和我們數字裡面的1一般地位，所以，我們記恆等函式為“1_x”。

數字的基本運算就是加減乘除，而函式也有運算，雖然也有加減乘除，但是屬於函式自己的，就是複合與反函式。我們知道在實數里，x與1/x的乘積等於1，在函式的複合運算里，也有類似的性質，函式f和g的複合記為f○g，那么下面的性質成立：f^-1○f=1_x；1_x○f=f○1_x=f。

這第一個式子已經說明很多問題。實際上，這些都是屬於高等代數的內容，在每一個封閉的系統里，都有一個“單位1”，都有自己的運算法則，函數裡的就是1_x，實數里的就是數字1等等。要深刻理解這些，也只有大家接觸群論以後才會深入理解。這裡也只是做點皮毛而已。我將在後面另起一文，介紹函式的“冪”的概念，就如同數的冪一樣。

說明

（1）在函式x=f ^-1(y)中，y是自變數，x是函式，但習慣上，我們一般用x表示自變數，用y 表示函式，為此我們常常對調函式x=f^-1(y)中的字母x,y，把它改寫成y=f ^-1(x)，今後凡無特別說明，函式y=f(x)的反函式都採用這種經過改寫的形式。

⑵反函式也是函式，因為它符合函式的定義. 從反函式的定義可知，對於任意一個函式y=f(x)來說，不一定有反函式，若函式y=f(x)有反函式y=f^-1(x)，那么函式y=f^-1(x)的反函式就是y=f(x)，這就是說，函式y=f(x)與y=f ^-1(x)互為反函式。

⑶互為反函式的兩個函式在各自定義域內有相同的單調性。單調函式一定有反函式，如二次函式在R內不是反函式，但在其單調增（減）的定義域內，可以求反函式；另外，反比例函式等函式不單調，也可求反函式。

⑷ 從映射的定義可知，函式y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函式y=f ^-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函式y=f(x)的定義域正好是它的反函式y=f ^-1(x)的值域；函式y=f(x)的值域正好是它的反函式y=f ^-1(x)的定義域（如下表）：

函式：y=f(x)；

反函式：y=f ^-1(x)；

定義域： A，C；

值域： C，A；

⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述為：

若確定函式y=f(x)的映射f是函式的定義域到值域上的“一一映射”，那么由f的“逆”映射f ^-1所確定的函式y=f^-1(x)就叫做函式y=f(x)的反函式. 反函式y=f^-1(x)的定義域、值域分別對應原函式y=f(x)的值域、定義域.。開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函式就可以寫為f ^-1(s)=s/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函式為：f ^-1(x)=x/2-3.

有時是反函式需要進行分類討論，如：f(x)=x+1/x，需將x進行分類討論：在x大於0時的情況，x小於0的情況，多是要注意的。

一般分數函式y=(ax+b)/(cx+d)（其中ad≠bc）的反函式可以表示為y=(b-dx)/(cx-a)，這可以通過簡單的四則運算來證明。