奇函式

奇函式是指對於一個定義域關於原點對稱的函式f（x）的定義域內任意一個x，都有f（-x）= - f（x），那么函式f（x）就叫做奇函式（odd function）。

1727年，年輕的瑞士數學家歐拉在提交給聖彼得堡科學院的旨在解決“反彈道問題”的一篇論文（原文為拉丁文）中，首次提出了奇、偶函式的概念。

基本介紹

• 中文名：奇函式
• 外文名：odd function
• 形式：f（-x）= - f（x）
• 特點：定義域關於原點對稱

定義

在奇函式中，和的符號相反且絕對值相等，即，

反之，滿足的函式一定是奇函式。例如:

性質

1. 兩個奇函式相加所得的和或相減所得的差為奇函式。

2. 一個偶函式與一個奇函式相加所得的和或相減所得的差為非奇非偶函式。

3. 兩個奇函式相乘所得的積或相除所得的商為偶函式。

4. 一個偶函式與一個奇函式相乘所得的積或相除所得的商為奇函式。

5. 若且唯若（定義域關於原點對稱）時，既是奇函式又是偶函式。奇函式在對稱區間上的積分為零。

特點

1、奇函式圖象關於原點對稱。

2、奇函式的定義域必須關於原點對稱，否則不能成為奇函式。

3、若為奇函式，且在x=0處有意義，則.

4、設在定義域上可導，若在上為奇函式，則在上為偶函式。

即對其求導f'(x)=[-f(-x)]'(-x)'=-f'(-x)(-1)=f'(-x)

發展

歐拉最早定義

若用-x代替x,函式保持不變，則稱這樣的函式為偶函式(拉丁文functionespares)。歐拉列舉了三類偶函式和三類奇函式，並討論了奇偶函式的性質。法國 數學家達朗貝 爾(J.R.D.Alembert，1717-1783)在狄德羅(D.Diderot,1713-1784)主編的《大百科全書》第7卷（1757年出版）關於函式的詞條中說：“古代幾何學家，更確切地說 是古代分析學家，將某個量x的不同次冪稱為x的函式．”類似地，法國數學家拉格朗日《解析函式論》（1797）開篇中也說，早期分析學家們使用“函式”這個詞，只是表示“同一個量的不同次冪”，後來，其涵義被推廣，表示“以任一方式得自其他量的所有量”，萊布尼茨和約翰· 伯努利最早採用了後一涵義。在1727年的論文中，歐拉在討論奇、偶函式時確實沒有涉及任何超越函式。因此，最早的奇、偶函式概念都是針對冪函式以及相關複合函式而言，歐拉提出的“ 奇函式”、“偶函式”之名顯然源於冪函式的指數或指數分子的奇偶性：指數為偶數的冪函式為偶函式， 指數為奇數的冪函式為奇函式。

歐拉拓展概念

1748年,歐拉出版他的數學名著《無窮分析引論》，將函式確立為分析學的最基本的研究對象．在第一章，他給出了函式的定義、對函式進行了分類，並再次討論了兩類特殊的函 數：偶函式和奇函式。歐拉給出的奇、偶函式定義與1727年論文中的定義實質上並無二致，但他討論了更多類型的奇、偶函式，也給出了奇函式的更多的性質。

歐拉的大困惑

歐拉認為，函式與函式是等價的，所以儘管奇函式與偶函式的乘積為奇函式，但有時這樣的乘積也可能會是偶函式。鑒於此，歐拉提出，要使一個偶函式的冪仍為偶函式，就必須對冪指數進行限制，特別的，如果指數為分數， 那么它的分母就不能為偶數。在將偶函式定義為和的複合函式時，歐拉特別增加了一個限制條件：中不能含有之類的根式。顯然，歐拉未能區別函式和函式。

後世發展演變

雖然達朗貝爾在《 大百科全書》 中給出了函式的定義，並介紹了有理函式、無理函式、齊次函式、相似函式，但隻字未提“奇函式”和“偶函式”這兩種特殊函式。

1786年 ，法國人裴奇（F.pezzi）將《 無窮分析引論》 第1卷譯成了法文，“奇函式”和“偶函式”分別被譯為“fonction paire”“fonction impaire”,這是兩個數學名詞在法文中的首次出現。

1792年，法國數學家勒讓德（A.Legendre）(1752-1833)向科學院提交論文“關於橢圓超越性”中提出了“正弦函式的偶函式”。勒讓德可能沿用了裴奇的譯名或直接翻譯了歐拉的名詞。這裡我們需要指出的是，將“偶函式”“奇函式”的拉丁文翻譯成對應的法文，並不會產生不同的譯法，因為最遲在笛卡兒（R.Descartes,1596-1650）的《 幾何學》 中已經有了法文的“偶 數”（nombres pairs）和“奇數”(nombres impairs)之名。

“奇函式”、“偶函式”這兩個名稱在18世紀末的法國並未得到普遍使用；或者說，函式的奇偶性還沒有受到當時法國數學家的普遍關注。1796年，法國數學家拉貝將《無窮分析引論》全書譯成法文，其中拉貝同樣將“奇函式”、“偶函式”分別譯為“fonction paire”“fonction impaire”

1809年，蘇格蘭數學家華里司（W.Wallace,1768-1843）將勒讓德的論文譯成英文， 發表在《數學文庫》(MathematicsRepository)上。華里司很自然地將 “function paire”譯為“even function”。這是“even function”這個詞在英語世界中的首次出現。不過，在英國著名數學家胡頓（C.Hutton，1737-1823）於1815年出版的《數學與哲學辭典》中，雖然有“函式”和“微積分中的函式”這兩個詞條，但奇、偶函式念卻付之闕如。而德摩根的《代數學基礎》（偉烈亞力和李善蘭譯為《代數學》）雖對函式進行了清晰地分類，但仍隻字未提奇、偶函式。在美 國，數學家羅密士（E.Loomis,1811-1889）的微積分暢銷書《解析幾何與微積分基礎》（李善蘭與偉烈亞力譯為《代微積拾級》）雖然給出了隱函式、顯函式、增 函 數、減函式之名，但同樣不含奇、偶函式之說。這說明，奇、偶函式概念以及華里司所引入的新名詞在19世紀上半葉的英語世界裡尚未得到廣泛傳播和普遍關注．相應地，兩個概念也就不見於中國晚清的西方數學譯著。直到20世紀初，兩個概念才傳入中國。1938年出版的《算學名辭彙編》 和1945年出版的《數學名詞》 中都收錄了兩個名詞。

例子

奇函式：，當在處有定義時，必有。

常見的奇函式有等。

對於函式，當時，既是奇函式又是偶函式，當時，是奇函式；當時，是偶函式。