基本介紹
- 中文名：反三角函式
- 外文名：Inverse trigonometric function
- 分類：反正弦、反餘弦、反正切等
- 函式等級：初等函式
- 一級學科：數學、理學
- 二級學科：平面三角
簡介,分類,反正弦函式,反餘弦函式,反正切函式,反餘切函式,反正割函式,反餘割函式,公式,餘角關係,負數關係,倒數關係,三角函式關係,加減法公式,級數定義,導數,不定積分,
簡介
反三角函式（inverse trigonometric function）是一類初等函式。指三角函式的反函式。由於基本三角函式具有周期性，所以反三角函式是多值函式。這種多值的反三角函式包括：反正弦函式、反餘弦函式、反正切函式、反餘切函式、反正割函式、反餘割函式，分別記為Arcsin x，Arccos x，Arctan x，Arccot x，Arcsec x，Arccsc x。但是，在實函式中一般只研究單值函式，只把定義在包含銳角的單調區間上的基本三角函式的反函式，稱為反三角函式，這是亦稱反圓函式。為了得到單值對應的反三角函式，人們把全體實數分成許多區間，使每個區間內的每個有定義的 y 值都只能有惟一確定的 x 值與之對應。為了使單值的反三角函式所確定區間具有代表性，常遵循如下條件：
1、為了保證函式與自變數之間的單值對應，確定的區間必須具有單調性；
2、函式在這個區間最好是連續的（這裡之所以說最好，是因為反正割和反餘割函式是尖端的）；
3、為了使研究方便，常要求所選擇的區間包含0到π/2的角；
4、所確定的區間上的函式值域應與整函式的定義域相同。這樣確定的反三角函式就是單值的，為了與上面多值的反三角函式相區別，在記法上常將Arc中的A改記為a，例如單值的反正弦函式記為arcsin x。
分類
為限制反三角函式為單值函式，將反正弦函式的值y限在-π/2≤y≤π/2，將y作為反正弦函式的主值，記為y=arcsin x；相應地，反餘弦函式y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函式y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反餘切函式y=arccot x的主值限在0<y<π。
反正弦函式
正弦函式y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函式，叫做反正弦函式。記作arcsinx，表示一個正弦值為x的角，該角的範圍在[-π/2，π/2]區間內。定義域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。
反餘弦函式
餘弦函式y=cos x在[0，π]上的反函式，叫做反餘弦函式。記作arccosx，表示一個餘弦值為x的角，該角的範圍在[0，π]區間內。定義域[-1，1] ， 值域[0，π]。
綠的為y=arccos(x) 紅的為y=arcsin(x)
綠的為y=arccos(x) 紅的為y=arcsin(x)反正切函式
正切函式y=tan x在（-π/2，π/2）上的反函式，叫做反正切函式。記作arctanx，表示一個正切值為x的角，該角的範圍在（-π/2，π/2）區間內。定義域R，值域（-π/2，π/2）。
反餘切函式
餘切函式y=cot x在（0，π）上的反函式，叫做反餘切函式。記作arccotx，表示一個餘切值為x的角，該角的範圍在（0，π）區間內。定義域R，值域（0，π）。
綠的為y=arccot(x) 紅的為y=arctan(x)
綠的為y=arccot(x) 紅的為y=arctan(x)反正割函式
正割函式y=sec x在[0，π/2）U（π/2，π]上的反函式，叫做反正割函式。記作arcsecx，表示一個正割值為x的角，該角的範圍在[0，π/2）U（π/2，π]區間內。定義域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[0，π/2）U（π/2，π]。
反正割函式
反正割函式反餘割函式
餘割函式y=csc x在[-π/2，0）U（0，π/2]上的反函式，叫做反餘割函式。記作arccscx，表示一個餘割值為x的角，該角的範圍在[-π/2，0）U（0，π/2]區間內。定義域（-∞，-1]U[1，+∞），值域[-π/2，0）U（0，π/2]。
公式
餘角關係
負數關係
倒數關係
三角函式關係
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加減法公式
（1）arcsinx+arcsiny
（2）arcsinx-arcsiny
（3）arccosx+arccosy
（4）arccosx-arccosy
（5）arctanx+arctany
（6）arctanx-arctany
（7）arccotx+arccoty
級數定義
導數
不定積分
