複合函式

設函式y=f(u)的定義域為D_u，值域為M_u，函式u=g(x）的定義域為D_x，值域為M_x，如果M_x∩D_u≠Ø，那么對於M_x∩D_u內的任意一個x經過u；有唯一確定的y值與之對應，則變數x與y之間通過變數u形成的一種函式關係，這種函式稱為複合函式(composite function)，記為：y=f[g(x)]，其中x稱為自變數，u為中間變數，y為因變數（即函式）。

基本介紹

• 中文名：複合函式
• 外文名：composite function
• 學科：數學
• 類別：函式

定義

設y是u的函式，u是x的函式，如果的值全部或部分在的定義域內，則y通過u成為x的函式，記作，稱為由函式與複合而成的複合函式。

如等都是複合函式。

而就不是複合函式，因為任何x都不能使y有意義。由此可見，不是任何兩個函式放在一起都能構成一個複合函式。

複合函式通俗地說就是函式套函式，是把幾個簡單的函式複合為一個較為複雜的函式。複合函式中不一定只含有兩個函式，有時可能有兩個以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，則函式y=f{φ[ψ(x)]}是x的複合函式，u、v都是中間變數。

定義域

若函式y=f(u)的定義域是B,u=g(x)的定義域是A,則複合函式y=f[g(x)]的定義域是D={x|x∈A,且g(x)∈B} 綜合考慮各部分的x的取值範圍，取他們的交集。

求函式的定義域主要應考慮以下幾點：

⑴當為整式或奇次根式時，R的值域；

⑵當為偶次根式時，被開方數不小於0（即≥0）；

⑶當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數大於0；

⑷當為指數式時，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0（如，中）。

⑸當是由一些基本函式通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變數的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。

⑹分段函式的定義域是各段上自變數的取值集合的並集。

⑺由實際問題建立的函式，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變數的要求

⑻對於含參數字母的函式，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，並要注意函式的定義域為非空集合。

⑼對數函式的真數必須大於零，底數大於零且不等於1。

⑽三角函式中的切割函式要注意對角變數的限制。

周期性

設y=f(u)的最小正周期為T₁,μ=φ(x)的最小正周期為T₂,則y=f(μ)的最小正周期為T₁*T₂，任一周期可表示為k*T₁*T₂(k屬於R₊).

單調（增減）性

決定因素

依y=f(u)，μ=φ(x)的單調性來決定。即“增+增=增；減+減=增；增+減=減；減+增=減”，可以簡化為“同增異減”。

基本步驟

判斷複合函式的單調性的步驟如下：

⑴求複合函式的定義域；

⑵將複合函式分解為若干個常見函式（一次、二次、冪、指、對函式）；

⑶判斷每個常見函式的單調性；

⑷將中間變數的取值範圍轉化為自變數的取值範圍；

⑸求出複合函式的單調性。

例題

例如：討論函式y= 的單調性。

解：函式定義域為R；

令u=x²-4x+3,y=0.8^u；

指數函式y=0.8^u在（-∞，+∞）上是減函式；

u=x²-4x+3在（-∞,2]上是減函式，在[2,+∞）上是增函式；

∴ 函式y= 在（-∞,2]上是增函式，在[2,+∞）上是減函式。

複合函式求導

規則

複合函式求導的前提：複合函式本身及所含函式都可導。

法則1：設u=g(x)，對f(u)求導得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；

法則2：設u=g(x),a=p(u)，對f(a)求導得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；

複合函式的導數

套用舉例

1、求：函式f(x)=(3x+2)³+3的導數。

解：設u=g(x)=3x+2；

f(u)=u³+3；

f'(u)=3u²=3(3x+2)²；

g'(x)=3；

f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)²*3=9(3x+2)²；

2、求f(x)= 的導數。

解：設u=g(x)=x-4,a=p(u)=u²+25

f(a)= ；

f'(a)= = ；

p'(u)=2u=2(x-4)；

g'(x)=1；

f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)= = .