複合函式求導法則

證明

證法一

f(x)在點x0可導的充要條件是在x0的某鄰域U(x0)內，存在一個在點x0連續的函式H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)從而f'(x0)=H(x0)

證明：設f(x)在x0可導，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心鄰域)；H(x)=f'(x0),x=x0

因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

所以H(x)在點x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

反之，設存在H(x),x∈U(x0),它在點x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

因存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

所以f(x)在點x0可導，且f'(x0)=H(x0)

設u=φ(x)在點u0可導，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導，則複合函式F(x)=f(φ(x))在x0可導，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

證明：由f(u)在u0可導，由引理必要性，存在一個在點u0連續的函式H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

又由u=φ(x)在x0可導，同理存在一個在點x0連續函式G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

於是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

因為φ，G在x0連續，H在u0=φ(x0)連續，因此H(φ(x))G(x)在x0連續，再由引理的充分性可知F(x)在x0可導，且

F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

證法二：y=f(u)在點u可導，u=g(x)在點x可導，則複合函式y=f(g(x))在點x0可導，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

基本介紹