二階微分方程

一般形式

二階微分方程的一般形式是

其中，x是自變數，y是未知函式，y'是y的一階導數，y''是y的二階導數。

在有些情況下，可以通過適當的變數代換，把二階微分方程化成一階微分方程來求解。具有這種性質的微分方程稱為可降階的微分方程，相應的求解方法稱為降階法。下面介紹三種容易用降階法求解的二階微分方程。

1）y''=f(x)型

方程特點：右端僅含有自變數x，逐次積分即可得到通解，對二階以上的微分方程也可類似求解。

例1 求方程y''=e^2x-cosx的通解。

解：原方程兩邊積分兩次，得通解

其中，C₁，C₂為任意常數。

2）y''=f(x,y')型

方程特點：右端函式表達式中不含有未知函式y。

由於y'也是x的未知函式，可設p(x)=y'，則原方程可降階為

這是關於p的一階微分方程，可求通解。

3）y''=f(y,y')型

方程特點：右端函式表達式中不含有自變數x。

令y'=p(y)，利用複合函式求導法則

原方程變為關於y，p的一階方程

一般形如

（其中

，f(x)是x的函式）的方程稱為二階常係數線性微分方程。

當f(x)=0時，方程

稱為二階常係數線性齊次微分方程；否則，方程（1）稱為二階常係數線性非齊次微分方程。

1）二階常係數線性齊次微分方程的解

定理1（線性齊次微分方程通解的結構定理）如果函式y₁(x)與y₂(x)是(2)的兩個線性無關的解，則函式

是齊次方程（2）的通解。（其中，C₁、C₂為兩個獨立的任意常數）

微分方程

的通解與其特徵根的關係見下表1。

2）二階常係數線性非齊次微分方程的解

定理2（線性非齊次微分方程通解的結構定理）如果y₀是非齊次微分方程（1）的一個特解，而y*是對應的齊次微分方程（2）的通解，則y=y₀+y*是方程（1）的通解。

對於比較簡單的情形，可以用觀察法找特解。但對於比較複雜的情形就不太容易了。為此，下面對於f(x)的幾種常見形式，以表2列出找其特解的方法（待定係數法）（表2中P_m(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_mx^m為已知的多項式）。