求導

求導是數學計算中的一個計算方法，它的定義就是，當自變數的增量趨於零時，因變數的增量與自變數的增量之商的極限。在一個函式存在導數時，稱這個函式可導或者可微分。可導的函式一定連續。不連續的函式一定不可導。

基本介紹

• 中文名：求導
• 外文名：derivation
• 特性：可導的函式一定連續
• 特性：不連續的函式一定不可導
• 套用：物理學、幾何學、經濟學
• 表示：f'(x)
• 對象：因變數的增量

定義

求導是微積分的基礎，同時也是微積分計算的一個重要的支柱。物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。如導數可以表示運動物體的瞬時速度和加速度、可以表示曲線在一點的斜率、還可以表示經濟學中的邊際和彈性。

數學中的名詞，即對函式進行求導，用表示。

常見求導法則

基本求導公式

給出自變數增量 ；

得出函式增量；

作商 ；

求極限。

求導四則運算法則與性質

1.若函式 都可導，則

2.加減乘都可以推廣到n個函式的情況，例如乘法：

3.數乘性

作為乘法法則的特例若為 常數c，則 ，這說明常數可任意進出導數符號。

4.線性性

求導運算也是滿足線性性的，即可加性、數乘性，對於n個函式的情況：

反函式求導法則

若函式 嚴格單調且可導，則其反函式 的導數存在且。

複合函式求導法則

若 在點x可導 在相應的點u也可導，則其複合函式 在點x可導且 。

特殊求導法則

對數求導法則

函式 被稱為冪指函式，在經濟活動中會大量涉及此類函式，注意到它很特別。既不是指數函式又不是冪函式，它的冪底和指數上都有自變數x，所以不能用初等函式的微分法處理了。這裡介紹一個專門解決此類函式的方法，對數求導法。

對於 兩邊取對數（當然取以為e底的自然對數計算更方便）。由對數的運算性質。

再對兩邊求導

參數表達函式的求導法則

若參數表達 ，為一個y關於x的函式，由函式規律的x，而這個x值的那個t要對應唯一的一個y值，才能y為x的函式。由此可見 必存在反函式 ，於是代入 ，這便是y通過中間變數t的關於x的函式的抽象表達，（實際中未必能寫出t關於x的反函式式子，也沒必要這樣做）。

利用反函式求導法則和複合函式求導法則，可得

這便是參數方程表達的y關於x的函式的求導公式。

隱函式求導法則

若 中存在隱函式 ，這裡僅是說y為一個x的函式並非說y一定被反解出來為顯式表達。即 ，儘管y未反解出來，只要y關於x的隱函式存在且可導，我們利用複合函式求導法則則仍可以求出其反函式。

導數公式

1.C'=0(C為常數)；

2.(Xⁿ)'=nX^(n-1) (n∈R)；

3.(sinX)'=cosX；

4.(cosX)'=-sinX；

5.(a^X)'=a^XIna （ln為自然對數)；

6.(log_aX)'=（1/X)log_ae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)；

7.(tanX)'=1/(cosX)²=(secX)²

8.(cotX)'=-1/(sinX)²=-(cscX)²

9.(secX)'=tanX secX；

10.(cscX)'=-cotX cscX；

注意事項

1.不是所有的函式都可以求導；

2.可導的函式一定連續，但連續的函式不一定可導（如y=|x|在y=0處不可導）。