基本介紹
- 中文名:方嚮導數
- 外文名:directional derivative
- 學科:數學
- 分類:沿直線和沿曲線方向
- 形式:偏微分方程
- 實質:域內某點沿線方向的導數
定義,沿直線方向,沿曲線方向,
定義
設函式z=f(x,y) 在點P(x,y)的某一鄰域U(P)內有定義,自點P引射線
,自x軸的正向到射線
的轉角為
,
為
上的另一點,若
存在,則稱此極限值為
在點P沿方向
的方嚮導數,記作
.其計算公式為










三元函式u=f(x,y,z)在點P(x,y,z)沿著方向
(方向角為
)的方嚮導數的定義為



其中
且
為
上的點,其計算公式為
.




沿直線方向
設
為數量場u=u(M) 中的一點,從點
出發引一


條射線
(其方向用
表示),在
上點
的鄰近取一動點
,記
,如圖所示,若當
時,分式
的極限存在,則稱它為函式
在點
處沿
方向的方嚮導數,記作
,即














方嚮導數
是在點M 處函式u(M) 沿方向
的對距離的變化率.故(1)當
時,函式u 沿
方向就是增加的;(2)當
時,函式u 沿
方向就是減少的.






在直角坐標系中,方嚮導數由下面定理給出計算公式。

證,設動點
的坐標為





2.若在有向曲線C上取一定點
作為計算弧長s的起點,若以C的正向作為s增大的方向;M為C上的一點,在點M處沿C的正向作一與C相切的射線
(其方向用
表示),則當函式u可微、曲線C光滑時,u在點M處沿
方向的方嚮導數就等於u對s的全導數,即





證,曲線C是光滑的,其參數方程為x=x(s),y=y(s),z=z(s),函式u=u[x(s),y(s),z(s)],

沿曲線方向
如圖所示,設
為數量場u=u(M)中曲線C上的一點,在點
的鄰近取一動點M,記
,若當
時,分式






的極限存在,則稱它為函式u(M)在點
處沿曲線(正向)方向的方嚮導數,記作



當曲線C光滑時,在點M處函式u可微,函式u沿C方向的方嚮導數就等於u對s的全導數,則有

證 因為當曲線C光滑時,在點M處函式u可微,故全導數
存在.




推論 若曲線C 光滑時,在點M處函式u可微,函式u在點M處沿C方向的方嚮導數就等於函式u在點M處沿C的切線方向
(C正向一側)的方嚮導數,即

