梯度場

場論理論包括多種形式，比如簡單的向量場，而梯度場則是由數量場所得到的矢量場，它的定義與坐標系的選擇無關。梯度場在微分學、積分學以及運算元的定義方面起著重要的作用。

基本介紹

• 中文名：梯度場
• 外文名：gradient field
• 學科：數學
• 學科領域範圍：積分學
• 屬性：場論初步中的一類

場的概念

若對全空間或其中某一區域 中的每一點 ，都有一個數量（或向量）與之對應，則稱在 上給定了一個數量場（或向量場）。

溫度場和密度場都是數量場。在空間中引進了直角坐標系以後，空間中點 的位置可由坐標系確定。因此，給定了某個數量場就等於給定了一個數量函式 。在以下討論中，假設 對每個變數都有連續偏導數。若這些偏導數不同時等於零，則滿足方程

的所有的點通常是一個曲面，其中 是常數。在這些曲面上函式 都取同一值，因此常稱它為等值面。例如溫度場中的等溫面等。

向量場可以重力場或速度場為例。當引進直角坐標系後，向量場就與向量函式 相對應。設 在三個坐標軸上的投影分別為

則

這裡 為所定義區域上的數量函式，並假定它們有連續偏導數。

設 為向量場中的一條曲線。若 上每點 處的切線方向都與向量函式 在該點的方向一致，即

則稱曲線 為向量場 的向量場線。例如電力線、磁力線等都是向量場線。

需要注意，場的性質是它自己的屬性，和坐標系的引進無關。引入或選擇某種坐標系是為了便於通過數學方法來研究它的性質。

梯度場與方嚮導數

（1）梯度場的概念

由數量場 所得到的矢量場

稱為數量場 的梯度場；對於定點 ，矢量

稱為數量場在點的梯度。

其中的算符

稱為哈密頓算符，讀作“Nabla”。

（2）方嚮導數

① 定義 設函式在點的附近有定義，是從出發的射線，並設的單位方向矢量是，

是上任意一點。如果極限

存在，則稱這極限是函式在點沿方向的方嚮導數。

② 計算公式

由此公式知：數量場的梯度剛好描述了數量場變化最大的方向和數值；所以，雖然梯度定義中用到了坐標系，但梯度這個矢量是和坐標系的選擇無關的。

梯度的基本性質

1、若是數量函式，則

2、若是數量函式，則

特別地有

3、若，則

4、若，則

5、若，則

套用

例 設質量為的質點位於原點，質量為的質點位於，記，求的梯度。

解

若以表示上的單位向量，則有

它表示兩質點間的引力，方向朝著原點，大小是與質量的乘積成比例，與兩點間的距離的平方成反比。這說明了引力場是數量函式的梯度場。因此常稱為引力勢。