方嚮導數

在函式定義域的內點，對某一方向求導得到的導數。一般為二元函式和三元函式的方嚮導數，方嚮導數可分為沿直線方向和沿曲線方向的方嚮導數。

基本介紹

• 中文名：方嚮導數
• 外文名：directional derivative
• 學科：數學
• 分類：沿直線和沿曲線方向
• 形式：偏微分方程
• 實質：域內某點沿線方向的導數

定義

設函式z=f(x,y) 在點P(x,y)的某一鄰域U(P)內有定義，自點P引射線 ，自x軸的正向到射線 的轉角為 ， 為 上的另一點，若 存在，則稱此極限值為 在點P沿方向 的方嚮導數，記作 ．其計算公式為

三元函式u=f(x,y,z)在點P(x,y,z)沿著方向 (方向角為 )的方嚮導數的定義為

其中 且 為 上的點，其計算公式為 .

沿直線方向

設 為數量場u=u(M) 中的一點，從點 出發引一

條射線 (其方向用 表示)，在 上點 的鄰近取一動點 ，記 ，如圖所示，若當 時，分式 的極限存在，則稱它為函式 在點 處沿 方向的方嚮導數，記作 ，即

沿直線的方嚮導數

方嚮導數 是在點M 處函式u(M) 沿方向 的對距離的變化率．故(1)當 時，函式u 沿 方向就是增加的；(2)當 時，函式u 沿 方向就是減少的．

在直角坐標系中，方嚮導數由下面定理給出計算公式。

1.若函式 在點 處可微， 為 方向的方向餘弦，則函式u 在點 處沿 方向的方嚮導數必存在，且滿足

證，設動點 的坐標為

2.若在有向曲線C上取一定點 作為計算弧長s的起點，若以C的正向作為s增大的方向；M為C上的一點，在點M處沿C的正向作一與C相切的射線 (其方向用 表示)，則當函式u可微、曲線C光滑時，u在點M處沿 方向的方嚮導數就等於u對s的全導數，即

證，曲線C是光滑的，其參數方程為x=x(s),y=y(s),z=z(s)，函式u=u[x(s),y(s),z(s)],

沿曲線方向

如圖所示，設 為數量場u=u(M)中曲線C上的一點，在點 的鄰近取一動點M，記 ，若當 時，分式

沿曲線方向的方嚮導數

的極限存在，則稱它為函式u(M)在點 處沿曲線(正向)方向的方嚮導數，記作

當曲線C光滑時，在點M處函式u可微，函式u沿C方向的方嚮導數就等於u對s的全導數，則有

證 因為當曲線C光滑時，在點M處函式u可微，故全導數 存在．

，當 存在時，有 。

推論 若曲線C 光滑時，在點M處函式u可微，函式u在點M處沿C方向的方嚮導數就等於函式u在點M處沿C的切線方向 (C正向一側)的方嚮導數，即