梯度(數學名詞)

梯度的本意是一個向量（矢量），表示某一函式在該點處的方嚮導數沿著該方向取得最大值，即函式在該點處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。

基本介紹

• 中文名：梯度
• 外文名：gradient
• 學科：微積分學
• 適用範圍：數理科學
• 相關概念：方嚮導數
• 性質：向量

定義

設二元函式 在平面區域D上具有一階連續偏導數，則對於每一個點P（x，y）都可定出一個向量 ,該函式就稱為函式 在點P（x，y）的梯度，記作gradf（x，y）或 ,即有：

gradf（x，y）= =

其中 稱為（二維的）向量微分運算元或Nabla運算元， 。

設 是方向l上的單位向量，則

由於當方向l與梯度方向一致時，有

所以當l與梯度方向一致時,方嚮導數 有最大值，且最大值為梯度的模，即

因此說，函式在一點沿梯度方向的變化率最大，最大值為該梯度的模。

推廣

梯度的概念可以推廣到三元函式的情形。

設三元函式 在空間區域G內具有一階連續偏導數，點 ，稱向量

為函式 在點P的梯度，記為 或 ，即

==

其中稱為（三維的）向量微分運算元或Nabla運算元，。

同樣，該梯度方向與取得最大方嚮導數的方向一致，而它的模為方嚮導數的最大值。

套用

設體系中某處的物理參數(如溫度、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該參數為w+dw，則稱為該物理參數的梯度，也即該物理參數的變化率。如果參數為速度、濃度、溫度或空間，則分別稱為速度梯度、濃度梯度、溫度梯度或空間梯度。其中溫度梯度在直角坐標系下的表達式如右圖。

溫度梯度的表達式

在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說，從歐幾里得空間Rn到R的函式的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅可比矩陣的特殊情況。

在單變數的實值函式的情況，梯度只是導數，或者，對於一個線性函式，也就是線的斜率。

梯度一詞有時用於斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被稱為梯度。