基本介紹
- 中文名:線性近似
- 外文名:linear approximation
- 所屬領域:數理科學
- 套用:數值分析;微積分
- 別名:線性逼近
定義,示例,幾何意義,常用線性近似公式,
定義
所謂線性近似,也叫線性逼近,主要作用是把一個複雜的非線性函式用一個簡單的線性函式來表示。
圖1.線性近似,切線近似
![圖1.線性近似,切線近似 圖1.線性近似,切線近似](/img/3/6d3/nBnauQ2M3EWO1AjNhJzNkljZ4QGZyYDZhlTOkhjZiVGN0cDOzMzYwAjNhZzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
假設一般函式上存在點(a, f(a)),當x接近a時,可以使用函式在a點的切線作為函式的近似線。函式L(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)即稱為函式f在a點的線性近似或切線近似。
![](/img/4/4c3/815010fc3323a8dfe3337984aae3.jpg)
圖1的表示是f在點 (a,f(a)) 處的切線,因此這個過程也叫作切線近似。
![](/img/8/c50/56b56fb9df5be9cdd66b640f1fb8.jpg)
![](/img/a/450/86d387c4f9ce9df53fe6ba8cb2c4.jpg)
![](/img/c/663/64cca168238b56c86b5df5fd046c.jpg)
在更具普遍意義的巴拿赫空間上,
![](/img/8/cea/6a078435f86c43cc0c0436a7a82f.jpg)
![](/img/5/501/8b259d6975a4cea1abf89aff086c.jpg)
![](/img/2/5f8/e1b154228a77e3b33fb3ba531b46.jpg)
![](/img/3/aeb/df2e824cfdf8faeab4a7d3baf0a2.jpg)
示例
線性近似的方法在尋找函式近似值時有很大作用:
例1.求
的值。
![](/img/f/34f/aba86af07a5f77fc583f5d514546.jpg)
1) 設函式
,問題化為求
的值,
![](/img/e/cd6/6d28c2207e0b91c3b5eb89268fc1.jpg)
![](/img/1/59c/781667dd9b79a546925f3a16f2b4.jpg)
2)可以得到
![](/img/8/c75/95f0953a77270de71dfe391a102b.jpg)
3)根據線性近似
![](/img/0/733/6e961dfa7a80c3a52f741776dbe9.jpg)
4)結果 2.926 非常接近於實際值 2.924。
幾何意義
線性近似求解的是近似值,其幾何意義是在基點的切線近似於原函式的曲線。
![圖2.線性近似的幾何意義——切線 圖2.線性近似的幾何意義——切線](/img/4/32d/nBnaugDM2AjZwQTYmFWY1IDM5gDZ3ATOkJjZyIGNkF2M0EDZ1kDOjNzM4Q2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
以f(x)=lnx為例,根據公式,在x0=1,
,曲線和切線如圖2所示:
![](/img/4/ede/858523865bd6d1f9afb475f86461.jpg)
在x0=1點附近,曲線近似於直線,x越接近x0,二者的近似度越高。在討論近似時,只有指定基點才有意義。這很容易理解,x越遠離x0,曲線和直線的差距越大;同時,當基點不同時,切線的斜率也不同。
常用線性近似公式
x0=0時,常用的線性近似值:
1)
;
![](/img/9/200/19affd25e1073f4387c8e21accfa.jpg)
2)
;
![](/img/3/ce2/549f637bcda14a1b7dd61dba4a8e.jpg)
3)
;
![](/img/7/53c/12658140d44ce62552cb015dc474.jpg)
4)
;
![](/img/5/75c/d4f5484a2899e46b32ac89333f43.jpg)
5)
。
![](/img/f/358/b15f7b5c233cb702c5312635883c.jpg)