雅可比矩陣

在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。雅可比矩陣的重要性在於它體現了一個可微方程與給出點的最優線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於多元函式的導數。

基本介紹

• 中文名：雅可比矩陣
• 外文名：jacobi matrix
• 定義：是一階偏導數以一定排列成的矩陣
• 其行列式：稱為雅可比行列式
• 代數曲線的：雅可比量表示雅可比簇
• 套用學科：數學

定義

在向量分析中，雅可比矩陣是函式的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。

在代數幾何中，代數曲線的雅可比行列式表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數群，曲線可以嵌入其中。

它們全部都以數學家卡爾·雅可比命名；英文雅可比行列式"Jacobian"可以發音為[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]。

假設某函式從 映到， 其雅可比矩陣是從到的線性映射，其重要意義在於它表現了一個多變數向量函式的最佳線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於單變數函式的導數。

假設是一個從n維歐氏空間映射到到m維歐氏空間的函式。這個函式由m個實函式組成：。這些函式的偏導數(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣，這個矩陣就是所謂的雅可比矩陣：

此矩陣用符號表示為：

，或者

這個矩陣的第 i行是由梯度函式的轉置表示的

如果p是中的一點，F在 p點可微分，根據高等微積分，是在這點的導數。在此情況下，這個線性映射即F在點p附近的最優線性逼近，也就是說當x足夠靠近點p時，我們有

例子

由球坐標系到直角坐標系的轉化由F函式給出︰

此坐標變換的雅可比矩陣是

的F函式:

其雅可比矩陣為:

此例子說明雅可比矩陣不一定為方陣。

逆矩陣

根據反函式定理，一個可逆函式（存在反函式的函式）的雅可比矩陣的逆矩陣即為該函式的反函式的雅可比矩陣。即，若函式在點的雅可比矩陣是連續且可逆的，則F在點 p的某一鄰域內也是可逆的，且有

成立。相反，倘若雅可比行列式在某一個點不為零，那么該函式在這個點的某一鄰域內可逆（存在反函式）。

一個多項式函式的可逆性與非經證明的雅可比猜想有關。其斷言，如果函式的雅可比行列式為一個非零實數（相當於其不存在復零點），則該函式可逆且其反函式也為一個多項式。

MATLAB代碼

MATLAB中jacobian是用來計算Jacobi矩陣的函式。

syms r l f

x=r*cos(l)*cos(f);

y=r*cos(l)*sin(f);

z=r*sin(l);

J=jacobian([x;y;z],[r l f])

結果：

J =

[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]

[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]

[ sin(l), r*cos(l), 0 ]

面積元證明

二維下dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立

證明：對於曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲邊四邊形ABCD，其中

A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),這個曲邊四邊形ABCD可以近似看成由微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)張成。

利用中值定理可知：

(u+△u,v)-(u,v)=Mdu

(u,v+△v)-(u,v)=Ndv

式中M，N為偏導數形式，可以通過簡單計算得出。

當變化量很小時，

將(u+△u,v)-(u,v)近似看為dx(u,v)

(u,v+△v)-(u,v)近似看為dy(u,v)，

故dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv

式中M*N為二維Jacobi行列式的展開形式。

由此得證。