本書是為熱愛科學、熱愛數學的思考者準備的！
本書是為喜歡把握科學脈搏探尋科學真諦的人準備的！
本書是為不願被動地接受知識而奮力掙扎的學子準備的！
基本介紹
- 書名：線性代數的幾何意義
- 又名：圖解線性代數,線性代數圖解
- 作者：任廣千 謝聰 胡翠芳
- 原版名稱：線性代數的幾何意義
- ISBN：978-7-5606-3454-8
- 類別：數學
- 頁數：288
- 定價：46
- 出版社：西安電子科技大學出版社
- 出版時間：2015.7.1
- 裝幀：平裝
- 開本：787毫米×1092毫米 1/16
內容簡介,目 錄,
內容簡介
本書使用向量的概念對國內高校工科“線性代數”的課程內容進行了較全面的幾何分析。從向量的幾何意義開始，分別講述了向量組、向量空間、行列式、矩陣、線性方程組和二次型的幾何意義或幾何解釋，其中不乏重要概念的物理意義的解釋。大量的代數概念及定理的幾何意義的解釋也可以使它成為您學習線性代數的參考手冊。
本書文字大多為作者的原創，比如叉積的物理意義，克萊姆法則、雅可比矩陣、相似/契約矩陣、轉置矩陣/對偶、矩陣乘積的行列式等系列概念的幾何意義等，套用方面如使用矩陣分析的方法分析電子振盪器的工作原理等。
本書圖文並茂，思路清晰、語言流暢，概念及定理解釋得合理、自然，適合有一定線性代數基礎的大學生閱讀。由於本書是直接根據線性代數課程的要求進行解釋的，同時具有通俗性、科普性，因而也適合初學者和自學者使用。
目 錄
前 言 1
1. 為什麼要給出線性代數的幾何意義 1
2. 重要的幾何直觀意義 3
3. 如何使用這本書 4
目 錄 6
第1章 什麼是線性代數 11
1.1 “代數”的意義 11
1.2 “線性”的意義 14
1.2.1 線性函式的概念 14
1.2.2 線性函式概念的推廣 16
1.2.3 多元線性函式的幾何意義 17
1.2.4 n維(高維)空間的直觀理解 19
1.3 線性映射和線性變換的幾何意義 21
1.3.1 線性映射的幾何意義 21
1.3.2 線性變換的幾何意義 26
1.4 線性代數的故事 29
1.5 線性代數有什麼用 32
第2章 向量的基本幾何意義 36
2.1 向量概念的幾何意義 36
2.1.1 自由向量的概念 36
2.1.2 向量的代數表示 37
2.2 向量加法的幾何及物理意義 39
2.3 向量內積的幾何和物理意義 42
2.3.1 向量內積的幾何解釋 42
2.3.2 向量內積的物理解釋 44
2.4 向量叉積的幾何和物理意義 45
2.4.1 叉積的定義及其幾何解釋 45
2.4.2 叉積的物理意義 46
2.5 向量混合運算的幾何意義 49
2.5.1 向量加法的結合律的幾何解釋 49
2.5.2 向量數乘的分配律的幾何解釋 50
2.5.3 向量點積的分配律的幾何解釋 50
2.5.4 向量叉積的分配律的幾何解釋 51
2.5.5 向量混合積的幾何解釋 53
2.6 向量積和張量之間的關係 54
2.6.1 二維向量的內積、外積和張量 55
2.6.2 三維向量的內積、外積和張量 56
2.7 向量除法的幾何意義 56
2.8 變向量的幾何意義 57
2.8.1 二維變向量的幾何圖形 57
2.8.2 三維變向量的幾何圖形 59
2.8.3 變向量的套用 60
2.9 復向量的幾何意義 61
2.9.1 向量與複數的關係 61
2.9.2 復向量的幾何意義 62
2.10向量和微積分的關係 64
2.10.1 微分的幾何意義 64
2.10.2 微元就是向量 64
2.11向量與解析幾何的關係 65
第3章 行列式的幾何意義 67
3.1 行列式的定義 67
3.2 二階行列式的幾何意義 70
3.2.1 二階行列式的幾何意義 70
3.2.2 二階行列式性質的幾何解釋 71
3.3 三階行列式的幾何意義 75
3.3.1 三階行列式的幾何意義 75
3.3.2 三階行列式性質的幾何解釋 75
3.4 行列式化為對角形的幾何解釋 79
3.5 行列式乘積項的幾何意義 81
3.5.1 二階行列式乘積項的幾何意義 81
3.5.2 三階行列式乘積項的幾何意義 82
3.5.3 n階行列式乘積項的幾何意義 85
3.6 拉普拉斯展開定理及代數餘子式的幾何解釋86
3.7 克萊姆法則的幾何意義 88
3.7.1 二階克萊姆法則的幾何解釋 88
3.7.2 三階克萊姆法則的幾何解釋 89
3.8 一類行列式的幾何意義 90
3.8.1 最後一列為1的行列式 90
3.8.2 一列為1的行列式的套用 93
第4章 向量組及向量空間的幾何意義 94
4.1 向量組的幾何意義 94
4.1.1 向量線性表示/組合的幾何意義 95
4.1.2 向量組線性相關的幾何意義 97
4.1.3 向量組等價的幾何解釋 99
4.1.4 向量組的秩和極大無關組的幾何意義101
4.1.5 向量組例題的圖解 102
4.2 向量空間的幾何意義 103
4.2.1 向量張成的空間 105
4.2.2 子空間的幾何意義 105
4.2.3 基、維數及其坐標的幾何意義 108
4.2.4 基變換的幾何意義 111
4.2.5 歐式空間及內積推廣 114
4.2.6 標準正交基的幾何解釋 117
4.2.7 施密特正交化的幾何解釋 122
第5章 矩陣的幾何意義 125
5.1 矩陣的概念及物理意義 125
5.1.1 矩陣是統計數表的例子 126
5.1.2 矩陣是線性函式係數的例子 127
5.2 矩陣加法的幾何意義 128
5.3 矩陣與向量乘法的幾何意義 129
5.3.1 矩陣與向量的乘積的概念 129
5.3.2 矩陣與向量乘積的幾何意義 130
5.4 矩陣與矩陣乘法的幾何意義 136
5.4.1 矩陣與矩陣乘法的意義 136
5.4.2 矩陣左乘與右乘的不同 138
5.4.3 矩陣乘冪的幾何及物理解釋 139
5.5 矩陣與線性變換關係的幾何意義 140
5.5.1 線性變換如何用矩陣表示 140
5.5.2 線性變換矩陣定理的幾何及物理意義 142
5.5.3 矩陣及其對應線性變換的幾何圖形 143
5.5.4 初等矩陣/初等變換的幾何意義 146
5.6 矩陣乘法運算律的幾何意義 153
5.6.1 兩個矩陣相乘是兩個線性變換的複合 153
5.6.2 矩陣的乘法不滿足交換律 154
5.6.3 矩陣的乘法不滿足消去律 154
5.7 矩陣秩的幾何意義 155
5.7.1 矩陣秩的幾何意義 155
5.7.2 矩陣的秩對圖形變換的影響 156
5.8 矩陣特徵值和特徵向量的幾何及物理意義157
5.8.1 特徵值和特徵向量的幾何意義157
5.8.2 特徵值和特徵向量的物理意義160
5.8.3 特徵向量空間的幾何圖景 171
5.8.4 實對稱矩陣的特徵值和特徵向量 174
5.8.5 複數特徵值及特徵向量的幾何意義 176
5.9 矩陣相似的幾何意義 178
5.9.1 什麼是相似矩陣 178
5.9.2 矩陣相似的幾何意義 180
5.9.3 矩陣相似對角化的幾何解釋182
5.10矩陣行列式的幾何意義 185
5.10.1 二階矩陣行列式的幾何意義 186
5.10.2 矩陣運算的行列式的幾何意義187
5.11雅可比矩陣及其行列式的幾何意義 191
5.11.1 雅可比矩陣及其行列式的幾何意義 191
5.11.2 雅可比矩陣在二重積分中的套用例子 192
5.12矩陣對平面和空間的旋轉變換 195
5.12.1 平面上的旋轉變換 195
5.12.2 空間的旋轉變換 197
5.13矩陣的等價、相似與契約關係 199
5.13.1 矩陣等價、相似及契約的關係對比 199
5.13.2 等價矩陣幾何意義 200
5.13.3 相似與等價矩陣幾何意義的對比 202
5.13.4 契約與等價矩陣幾何意義的對比 203
5.14其他各類矩陣的幾何意義 204
5.14.1 逆矩陣的幾何意義 204
5.14.2 轉置矩陣的幾何意義 206
5.14.3 伴隨矩陣的幾何意義 213
5.14.4 正交矩陣的幾何意義 215
5.14.5 分塊矩陣的代數及幾何意義 218
5.14.6 三角矩陣幾何意義 221
5.14.7 對角矩陣的幾何意義 223
5.14.8 平移矩陣的幾何意義 224
5.14.9 複數的矩陣表示 226
第6章 線性方程組的幾何意義 229
6.1 兩種線性方程組表示形式的幾何意義 229
6.2 高斯消元法的幾何解釋 230
6.3 線性方程組的秩及解的關係的幾何意義 233
6.3.1 二元線性方程組的秩及解的圖形233
6.3.2 三元線性方程組的秩及解的圖形236
6.4 線性方程組有解判別定理的幾何解釋 240
6.5 線性方程組解結構的幾何意義242
6.5.1 線性方程組解的代數形式 242
6.5.2 齊次線性方程組的解空間 245
6.5.3 非齊次線性方程組的解結構246
6.5.4 非齊次線性方程組的例解 247
6.6 數域上的線性方程組（或向量空間）的意義 249
6.7 超定方程組的最小二乘解的幾何解釋 250
6.7.1 最小二乘法的向量解的幾何意義250
6.7.2 一般最小二乘解的公式推導251
6.7.3 最小二乘解的例析 251
6.8 方程組和矩陣、向量組的關係 252
6.8.1 線性方程組與矩陣乘法的運算關係 253
6.8.2 線性方程組、矩陣、向量組的關係 254
6.8.3 秩的關係 254
第7章 二次型的幾何意義 256
7.1 二次曲線及曲面的圖形 257
7.1.1 二次函式的哪些係數對圖形是重要的 257
7.1.2 二次函式與二次方程的關係 259
7.1.3 圓錐曲線的向量方程 261
7.2 二次型及其幾何意義 262
7.2.1 二次型的定義 262
7.2.2 二次型的幾何及物理意義 263
7.2.3 二次型函式與雙線性函式的關係 265
7.3 二次型契約對角化的幾何意義 267
7.3.1 二次型對角化之正交變換 268
7.3.2 其他二次型對角化的方法 270
7.4 慣性定理的幾何及物理意義 272
7.5 二次型正定性的幾何意義 273
7.5.1 二次型正定性的幾何意義 274
7.5.2 二次型正定性判別法的直觀理解 275
7.6 二次型的分類與二次曲面的分類 276
附錄 線性代數簡史和名師學習指點 280
1. 線性代數主要內容及其發展簡史280
2. 怎樣學習線性代數 283
主要參考文獻 289
後 記 290
