球坐標系

球坐標系是三維坐標系的一種，用以確定三維空間中點、線、面以及體的位置，它以坐標原點為參考點，由方位角、仰角和距離構成。球坐標系在地理學、天文學中都有著廣泛套用。

基本介紹

• 中文名：球坐標系
• 外文名：Spherical Coordinates
• 類別：三維坐標系
• 作用：確定三維空間中點線面及體的位置
• 參考點：坐標原點
• 構成要素：方位角、仰角和距離
• 套用領域：數學、物理學、地理學、天文學等

定義

在數學裡，球坐標系（英語：Spherical coordinate system）是一種利用球坐標表示一個點 p 在三維空間的位置的三維正交坐標系。右圖顯示了球坐標的幾何意義：原點到 P 點的距離 r ，原點到點 P 的連線與正 z-軸之間的天頂角以及原點到點 P 的連線，在 xy-平面的投影線，與正 x-軸之間的方位角。

圖1：平面坐標系

例解

假設P（x，y，z）為空間內一點，則點P也可用這樣三個有次序的數(r，θ，φ)來確定，其中r為原點O與點P間的距離；θ為有向線段OP與z軸正向的夾角；φ為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉到OM所轉過的角，這裡M為點P在xOy面上的投影；。這樣的三個數r，θ，φ叫做點P的球面坐標，顯然，這裡r，θ，φ的變化範圍為r∈[0,+∞)，θ∈[0, π]， φ∈[0,2π] ，如圖1所示。

當r,θ或φ分別為常數時,可以表示如下特殊曲面:r = 常數，即以原點為心的球面；θ= 常數，即以原點為頂點、z軸為軸的圓錐面；φ= 常數，即過z軸的半平面。

轉換

1).球坐標系(r,θ,φ)與直角坐標系(x,y,z)的轉換關係:

x=rsinθcosφ.

y=rsinθsinφ.

z=rcosθ.

2).反之，直角坐標系(x,y,z)與球坐標系(r,θ,φ)的轉換關係為:

微分關係

在球坐標系中，沿基矢方向的三個線段元為：

dl(r)=dr, dl(φ)=rsinθdφ, dl(θ)=rdθ.

球坐標的面元面積是：

dS=dl(θ)* dl(φ)=r²sinθdθdφ.

體積元的體積為：

dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r²sinθdrdθdφ.

套用

地理坐標系用兩個角值，緯度與經度，來表示地球表面的地點。正如二維直角坐標系專精在平面上，二維球坐標系可以很簡易的設定圓球表面上的點的位置。在這裡，我們認定這圓球是個單位圓球；其半徑是1。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉矩陣問題上，這方法是非常有用的。

球坐標系適用於分析一個對稱於點的系統。舉例而言，一個圓球，其直角坐標方程式為，可以簡易的用球坐標系來表示。

當求解三重積分時，如果定義域為圓球，則面積元素是

；

體積元素是

。

用來描述與分析擁有球狀對稱性質的物理問題，最自然的坐標系，莫非是球坐標系。例如，一個具有質量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式，拉普拉斯方程與亥姆霍茲方程，在球坐標里，都可以成功的使用分離變數法求得解答。這種方程式在角部分的解答，皆呈球諧函式的形式。

球坐標的概念，延伸至高維空間，則稱為超球坐標(n-sphere)。