為了說明質點的位置、運動的快慢、方向等，必須選取其坐標系。在參照系中，為確定空間一點的位置，按規定方法選取的有次序的一組數據，這就叫做“坐標”。在某一問題中規定坐標的方法，就是該問題所用的坐標系。坐標系的種類很多，常用的坐標系有：笛卡爾直角坐標系、平面極坐標系、柱面坐標系（或稱柱坐標系）和球面坐標系(或稱球坐標系)等。中學物理學中常用的坐標系，為直角坐標系，或稱為正交坐標系。
從廣義上講：事物的一切抽象概念都是參照於其所屬的坐標系存在的，同一個事物在不同的作標系中就會有不同抽象概念來表示，坐標系表達的事物有聯繫的抽象概念的數量【既坐標軸的數量】就是該事物所處空間的維度。
兩件能相互改變的事物必須在同坐標系中。
基本介紹
- 中文名：坐標系
- 外文名：Coordinate system
- 目的：說明質點的位置運動的快慢、方向
- 常見：直線坐標系，平面直角坐標系
- 發明人：笛卡爾
- 套用：數學、物理等各個領域
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概念
如果物體沿直線運動，為了定量描述物體的位置變化，可以以這條直線為x軸，在直線上規定原點、正方向和單位長度，建立直線坐標系。一般來說，為了定量地描述物體的位置及位置的變化，需要在參考繫上建立適當的坐標系（coordinate system）。
坐標系可分為：
直線坐標系：物體在一條直線上運動，只需建立直線坐標系。
平面直角坐標系：物體在某一平面內運動。
來源
有一天，笛卡爾（1596—1650，法國哲學家、數學家、物理學家）生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反覆思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來表示方程呢？這裡，關鍵是如何把組成幾何的圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤。他就拚命琢磨。通過什麼樣的辦法、才能把“點”和“數”聯繫起來。突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。
蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子裡可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子裡相鄰的兩面牆與地面交出了三條線，如果把地面上的牆角作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那么空間中任意一點的位置，不是都可以用這三根數軸上找到的有順序的三個數來表示嗎？反過來，任意給一組三個有順序的數，例如3.2.1，也可以用空間中的一個點 P來表示它們（如圖 1）。同樣，用一組數（a， b）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以用一組二個有順序的數來表示（如圖2）。於是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創建了直角坐標系。
無論這個傳說的可靠性如何，有一點是可以肯定的，就是笛卡爾是個勤于思考的人。這個有趣的傳說，就象瓦特看到蒸汽衝起開水壺蓋改進了蒸汽機一樣，說明笛卡爾在創建直角坐標系的過程中，很可能是受到周圍一些事物的啟發，觸發了靈感。
圖2
圖2直角坐標系的創建，在代數和幾何上架起了一座橋樑。它使幾何概念得以用代數的方法來描述，幾何圖形可以通過代數形式來表達，這樣便可將先進的代數方法套用於幾何學的研究。
笛卡爾在創建直角坐標系的基礎上，創造了用代數方法來研究幾何圖形的數學分支——解析幾何。他的構想是：只要把幾何圖形看成是動點的運動軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特性的點組成的。比如，我們把圓看成是一個動點對定點O作等距離運動的軌跡，也就可以把圓看作是由無數到定點O的距離相等的點組成的。我們把點看作是組成圖形的基本元素，把數看成是組成方程的基本元素，只要把點和數掛上鉤，也就可以把幾何和代數掛上鉤。
方向確定
1.Z坐標
Z坐標的運動方向是由傳遞切削動力的主軸所決定的，即平行於主軸軸線的坐標軸即為Z坐標，Z坐標的正向為刀具離開工件的方向。
坐標系
坐標系如果工具機上有幾個主軸，則選一個垂直於工件裝夾平面的主軸方向為Z坐標方向；如果主軸能夠擺動，則選垂直於工件裝夾平面的方向為Z坐標方向；如果工具機無主軸，則選垂直於工件裝夾平面的方向為Z坐標方向。圖3 所示為數控車床的Z坐標。
2.X坐標
X坐標平行於工件的裝夾平面，一般在水平面內。
如果工件做旋轉運動，則刀具離開工件的方向為X坐標的正方向；
如果刀具做旋轉運動，則分為兩種情況：
1)Z坐標水平時，觀察者沿刀具主軸向工件看時，+X運動方向指向右方；
2)Z坐標垂直時，觀察者面對刀具主軸向立柱看時，+X運動方向指向右方。
圖4所示為數控車床的X坐標。
3.Y坐標
在確定X、Z坐標的正方向後，可以用根據X和Z坐標的方向，按照右手直角坐標系來確定Y坐標的方向。
坐標系
坐標系圖5所示為數控車床的Y坐標。
根據圖4所示的數控立式銑床結構圖，試確定X、Y、Z直線坐標。
(1)Z坐標：平行於主軸，刀具離開工件的方向為正。
(2)X坐標：Z坐標垂直，且刀具旋轉，所以面對刀具主軸向立柱方向看，向右為正。
(3)Y坐標：在Z、X坐標確定後，用右手直角坐標系來確定。
套用
把圖形看成點的運動軌跡，這個想法很重要！它從指導思想上，改變了傳統的幾何方法。笛卡爾根據自己的這個想法，在《幾何學》中，最早為運動著的點建立坐標，開創了幾何和代數掛鈎的解析幾何。在解析幾何中，動點的坐標就成了變數，這是數學第一次引進變數。
坐標系
坐標系恩格斯高度評價笛卡爾的工作，他說：“數學中的轉折點是笛卡爾的變數。有了變數，運動進入了數學，有了變數，辯證法進入了數學。”
坐標方法在日常生活中用得很多。例如象棋、西洋棋中棋子的定位；電影院、劇院、體育館的看台、火車車廂的座位及高層建築的房間編號等都用到坐標的概念。
隨著同學們知識的不斷增加，坐標方法的套用會更加廣泛。
數控
數控工具機的加工是由程式控制完成的，所以坐標系的確定與使用非常重要。根據ISO841標準，數控工具機坐標系用右手笛卡兒坐標系作為標準確定。數控車床平行於主軸方向即縱向為Z軸，垂直於主軸方向即橫向為X軸，刀具遠離工件方向為正向。
坐標系
坐標系數控車床有三個坐標系即機械坐標系、編程坐標系和工件坐標系。
1.機械坐標系的原點是生產廠家在製造工具機時的固定坐標系原點，也稱機械零點。它是在工具機裝配、調試時已經確定下來的，是工具機加工的基準點。在使用中機械坐標系是由參考點來確定的，工具機系統啟動後，進行返回參考點操作，機械坐標系就建立了。坐標系一經建立，只要不切斷電源，坐標系就不會變化。
2.編程坐標系是編程式時使用的坐標系，一般把我們把Z軸與工件軸線重合，X軸放在工件端面上。工件坐標系是工具機進行加工時使用的坐標系，它應該與編程坐標系一致。能否讓編程坐標系與工坐標系一致，是操作的關鍵。
在使用中我們發現，FANUC系統與航天數控系統的機械坐標系確定基本相同，都是在系統啟動後回參考點確定。 工件坐標系
3.工件坐標系（ Workpiece Coordinate System ）固定於工件上的笛卡爾坐標系，是編程人員在編製程序時用來確定刀具和程式起點的，該坐標系的原點可使用人員根據具體情況確定，但坐標軸的方向應與工具機坐標系一致並且與之有確定的尺寸關係。
工具機
1.工具機相對運動的規定
工件相對靜止，而刀具運動。在工具機上，始終認為工件靜止，而刀具是運動的。這樣編程人員在不考慮工具機上工件與刀具具體運動的情況下，就可以依據零件圖樣，確定工具機的加工過程。
坐標系
坐標系2.工具機坐標系的規定
標準工具機坐標系中X、Y、Z坐標軸的相互關係用右手笛卡爾直角坐標系決定：1)伸出右手的大拇指、食指和中指，並互為90度。則大拇指代表X坐標，食指代表Y坐標，中指代表Z坐標。
坐標系
坐標系2)大拇指的指向為X坐標的正方向，食指的指向為Y坐標的正方向，中指的指向為Z坐標的正方向。
3)圍繞X、Y、Z坐標旋轉的旋轉坐標分別用A、B、C表示，根據右手螺旋定則，大拇指的指向為X、Y、Z坐標中任意一軸的正向，則其餘四指的旋轉方向即為旋轉坐標A、B、C的正向。
請按圖3中按鈕觀察工具機運動的方向
（3）運動方向的規定
增大刀具與工件距離的方向即為各坐標軸的正方向。
編程
編程坐標系編程人員根據零件圖樣及加工工藝等建立的坐標系。
編程坐標系一般供編程使用，確定編程坐標系時不必考慮工件毛坯在工具機上的實際裝夾位置。如圖6所示。
編程原點是根據加工零件圖樣及加工工藝要求選定的編程坐標系的原點。
編程原點應儘量選擇在零件的設計基準或工藝基準上，編程坐標系中各軸的方向應該與所使用的數控工具機相應的坐標軸方向一致，如圖7所示為車削零件的編程原點。
加工
1.加工坐標系的確定
加工坐標系是指以確定的加工原點為基準所建立的坐標系。
加工原點也稱為程式原點，是指零件被裝夾好後，相應的編程原點在工具機坐標系中的位置。
坐標系
坐標系在加工過程中，數控工具機是按照工件裝夾好後所確定的加工原點位置和程式要求進行加工的。編程人員在編製程序時，只要根據零件圖樣就可以選定編程原點、建立編程坐標系、計算坐標數值，而不必考慮工件毛坯裝夾的實際位置。對於加工人員來說，則應在裝夾工件、調試程式時，將編程原點轉換為加工原點，並確定加工原點的位置，在數控系統中給予設定（即給出原點設定值），設定加工坐標系後就可根據刀具當前位置，確定刀具起始點的坐標值。在加工時，工件各尺寸的坐標值都是相對於加工原點而言的，這樣數控工具機才能按照準確的加工坐標系位置開始加工。圖8中O2為編程原點。
2.加工坐標系的設定
方法一：在工具機坐標系中直接設定加工原點。
（1）加工坐標系的選擇
編程原點設定在工件軸心線與工件底端面的交點上。
設工作檯工作面尺寸為800mm×320mm，若工件裝夾在接近工作檯中間處，則確定了加工坐標系的位置，其加工原點03就在距工具機原點O1為X3.Y3.Z3處。並且X3=-345.700mm, Y3=-196.22mm, Z3=-53.165mm。
坐標系
坐標系（2）設定加工坐標系指令
1）G54～G59為設定加工坐標系指令。G54對應一號工件坐標系，其餘以此類推。可在MDI 方式的參數設定頁面中，設定加工坐標系。如對已選定的加工原點O3，將其坐標值
X3= -345.700mm
Y3= -196.220mm
Z3=-53.165mm
設在G54中，如圖10所示。則表明在數控系統中設定了一號工件加工坐標。設定頁面如圖10。
2）G54～G59在加工程式中出現時，即選擇了相應的加工坐標系。
方法二：通過刀具起始點來設定加工坐標系。
（1）加工坐標系的選擇
加工坐標系的原點可設定在相對於刀具起始點的某一符合加工要求的空間點上。
應注意的是，當工具機開機回參考點之後，無論刀具運動到哪一點，數控系統對其位置都是已知的。也就是說，刀具起始點是一個已知點。
（2）設定加工坐標系指令
G92為設定加工坐標系指令。在程式中出現G92程式段時，即通過刀具當前所在位置即刀具起始點來設定加工坐標系。G92指令的編程格式：G92 X a Y b Z c
坐標系
坐標系該程式段運行後，就根據刀具起始點設定了加工原點，如圖11所示。
從圖11中可看出，用G92設定加工坐標系，也可看作是：在加工坐標系中，確定刀具起始點的坐標值，並將該坐標值寫入G92編程格式中。
例題：在圖5中，當a=50mm,b=50mm,c=10mm時，試用G92指令設定加工坐標系。
設定程式段為 G92 X50 Y50 Z10。
工具機加工
在選擇了圖12所示的被加工零件圖樣，並確定了編程原點位置後，可按以下方法進行加工坐標系設定：
坐標系
坐標系（1）準備工作
工具機回參考點，確認工具機坐標系；
（2）裝夾工件毛坯
通過夾具使零件定位，並使工件定位基準面與工具機運動方向一致；
（3）對刀測量
用簡易對刀法測量，方法如下：
用直徑為φ10的標準測量棒、塞尺對刀，得到測量值為X = -437.726, Y = -298.160,如圖2所示。Z = -31.833，如圖13所示。
（4）計算設定值
將前面已測得的各項數據，按設定要求運算。
X坐標設定值：X= -437.726+5+0.1+40= -392.626mm
註：如圖13所示。
-437.726mm為X坐標顯示值；
+5mm為測量棒半徑值；
+0.1mm為塞尺厚度；
+40.0為編程原點到工件定位基準面在X坐標方向的距離。
Y坐標設定值：Y= -298.160+5+0.1+46.5= -246.46mm
註：如圖2所示，-298.160mm為坐標顯示值；+5mm為測量棒半徑值；+0.1mm為塞尺厚度；+46.5為編程原點到工件定位基準面在Y坐標方向的距離。Z坐標設定值：Z= -31.833-0.2=-32.033mm。
坐標系
坐標系註：-31.833為坐標顯示值；-0.2為塞尺厚度,如圖3所示。
通過計算結果為：X -392.626；Y -246.460；Z -32.033
（5）設定加工坐標系
將開關放在 MDI 方式下，進入加工坐標系設定頁面。輸入數據為：
X= -392.626 Y= -246.460 Z= -32.033
表示加工原點設定在工具機坐標系的X= -392.626 Y= -246.460 Z= -32.033 的位置上。
（6）校對設定值
對於初學者，在進行了加工原點的設定後，應進一步校對設定值，以保證參數的正確性。
校對工作的具體過程如下：在設定了G54加工坐標系後，再進行回工具機參考點操作，其顯示值為
X +392.626
Y +246.460
Z +32.033
這說明在設定了G54加工坐標系後，工具機原點在加工坐標系中的位置為：
X +392.626
Y +246.460
Z +32.033
這反過來也說明G54的設定值是正確的。
2.注意事項
（1）G54～G59設定加工坐標系的方法是一樣的，但在實際情況下，工具機廠家為了用戶的不同需要，在使用中有以下區別：利用G54設定工具機原點的情況下，進行回參考點操作時工具機坐標值顯示為G54的設定值，且符號均為正；利用G55～G59設定加工坐標系的情況下，進行回參考點操作時工具機坐標值顯示零值。
（2）G92指令與G54～G59指令都是用於設定工件加工坐標系的，但在使用中是有區別的。G92指令是通過程式來設定、選用加工坐標系的，它所設定的加工坐標系原點與當前刀具所在的位置有關，這一加工原點在工具機坐標系中的位置是隨當前刀具位置的不同而改變的。
（3）G54～G59指令是通過MDI在設定參數方式下設定工件加工坐標系的，一旦設定，加工原點在工具機坐標系中的位置是不變的，它與刀具的當前位置無關，除非再通過MDI 方式修改。
（4）本課程所例加工坐標系的設定方法，僅是FANUC系統中常用的方法之一，其餘不一一例舉。其它數控系統的設定方法應按隨機說明書執行。
3.常見錯誤
當執行程式段G92 X 10 Y 10時，常會認為是刀具在運行程式後到達X 10 Y 10 點上。其實， G92指令程式段只是設定加工坐標系，並不產生任何動作，這時刀具已在加工坐標系中的 X10 Y10點上。
G54～G59指令程式段可以和G00、G01指令組合，如G54 G90 G01 X 10 Y10時，運動部件在選定的加工坐標系中進行移動。 程式段運行後，無論刀具當前點在哪裡，它都會移動到加工坐標系中的X 10 Y 10 點上。
類型
極坐標系
在平面內由極點、極軸和極徑組成的坐標系。在平面上取定一點O，稱為極點。從O出發引一條射線Ox，稱為極軸。再取定一個長度單位，通常規定角度取逆時針方向為正。這樣，平面上任一點P的位置就可以用線段OP的長度ρ以及從Ox到OP的角度θ來確定，有序數對（ρ，θ）就稱為P點的極坐標，記為P（ρ，θ）；ρ稱為P點的極徑，θ稱為P點的極角。當限制ρ≥0，0≤θ<2π時，平面上除極點Ο以外，其他每一點都有唯一的一個極坐標。極點的極徑為零 ，極角任意。若除去上述限制，平面上每一點都有無數多組極坐標，一般地 ，如果(ρ，θ)是一個點的極坐標 ，那么(ρ，θ+2nπ)，(-ρ，θ+(2n+1)π)，都可作為它的極坐標，這裡n 是任意整數。平面上有些曲線，採用極坐標時，方程比較簡單。例如以原點為中心，r為半徑的圓的極坐標方程為ρ=r 等速螺線的極坐標方程為ρ=aθ 。此外，橢圓 、雙曲線和拋物線這3種不同的圓錐曲線，可以用一個統一的極坐標方程表示。
極坐標系
極坐標系極坐標系到直角坐標系的轉化：
x=ρcosθ
由上述二公式，可得到從直角坐標系中x 和 y 兩坐標如何計算出極坐標下的坐標
在 x = 0的情況下：若 y 為正數 θ = 90° (π/2 radians)；若 y 為負，則 θ = 270° (3π/2 radians).
極坐標的方程
圓
方程為r(θ) = 1的圓。
在極坐標系中，圓心在(r0, φ) 半徑為 a 的圓的方程為
該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程r(θ)=a表示一個以極點為中心半徑為a的圓。
直線
經過極點的射線由如下方程表示θ=φ
玫瑰線
一條方程為 r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰線。
r(θ)=a cos kθ
r(θ)=a sin kθ
阿基米德螺線
方程 r(θ) = θ (0 < θ < 6π)的一條阿基米德螺線。
阿基米德螺線在極坐標里使用以下方程表示：r(θ)=a+bθ
.改變參數a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ > 0，另一條θ < 0。兩條螺線在極點處平滑地連線。把其中一條翻轉 90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。
圓錐曲線
橢圓，展示了半正焦弦
圓錐曲線方程如下：
其他曲線
球坐標系
球坐標是一種三維坐標。分別有原點、方位角、仰角、距離構成。
球坐標系
球坐標系設P（x，y，z）為空間內一點，則點P也可用這樣三個有次序的數r，φ，θ來確定，其中r為原點O與點P間的距離，θ為有向線段與z軸正向所夾的角，φ為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉到有向線段在坐標平面xoy的投影所轉過的角，這裡M為點P在xOy面上的投影。這樣的三個數r，φ，θ叫做點P的球面坐標，這裡r，φ，θ的變化範圍為
r∈[0,+∞),
φ∈[0, 2π],
θ∈[0, π] .
當r,θ或φ分別為常數時，可以表示如下特殊曲面：
r = 常數，即以原點為心的球面；
θ= 常數，即以原點為頂點、z軸為軸的圓錐面；
φ= 常數，即過z軸的半平面。
與直角坐標系的轉換:
1).球坐標系(r,θ，φ)與直角坐標系(x,y,z)的轉換關係：
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
2).反之，直角坐標系(x,y,z)與球坐標系(r,θ，φ)的轉換關係為:
φ= arctan(
)；
θ= arccos(z/r);
球坐標系下的微分關係：
在球坐標系中，沿基矢方向的三個線段元為：
dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ， dl(φ)=rsinθdφ
球坐標的面元面積是：
dS=dl(θ)* dl(φ)=r^2*sinθdθdφ
體積元的體積為：
dV=dl(r)*dl(θ)*dl(φ)=r^2*sinθdrdθdφ
球坐標系在地理學、天文學中有著廣泛套用.在測量實踐中，球坐標中的θ角稱為被測點P（r，θ，φ）的方位角，90°-θ成為高低角。
柱坐標系
柱坐標系中的三個坐標變數是 r、φ、z。與直角坐標系相同，柱坐標系中也有一個z變數。
各變數的變化範圍是：
r∈[0,+∞),
φ∈[0, 2π],
z∈R
其中
x=rcosφ
y=rsinφ
z=z
西安北京
西安80坐標系與北京54坐標系其實是一種橢球參數的轉換作為這種轉換在同一個橢球里的轉換都是嚴密的，而在不同的橢球之間的轉換是不嚴密，因此不存在一套轉換參數可以全國通用的，在每個地方會不一樣，因為它們是兩個不同的橢球基準。那么，兩個橢球間的坐標轉換，一般而言比較嚴密的是用七參數布爾莎模型，即 X 平移， Y 平移， Z 平移， X 旋轉（WX）， Y 旋轉（WY）， Z 旋轉（WZ），尺度變化（DM ）。要求得七參數就需要在一個地區需要 3 個以上的已知點。如果區域範圍不大， 最遠點間的距離不大於 30Km（ 經驗值 ） ，這可以用三參數，即 X 平移， Y 平移， Z 平移，而將 X 旋轉， Y 旋轉， Z 旋轉，尺度變化面DM視為 0 。
方法如下（MAPGIS平台中）：
