平面極坐標系

平面極坐標系坐標系的一種。極坐標系在平面內由極點、極軸和極徑組成的坐標系。在平面上取一定點o，稱為極點，由o出發的一條射線ox，稱為極軸。

對於平面上任意一點p，用ρ表示線段op的長度，稱為點p的極徑或矢徑，從ox到op的角度θε[0，2π]，稱為點p的極角或輻角，有序數對(ρ，θ)稱為點p的極坐標。極點的極徑為零，極角不定。除極點外，點和它的極坐標成一一對應。

基本介紹

• 中文名：平面極坐標系
• 外文名：Plane polar coordinates
• 學科：數學
• 組成：極點、極軸和極徑

極坐標系的概念

在平面上取一定點o，稱為極點，由o出發的一條射線ox，稱為極軸。再取定一個長度單位，通常規定角度取逆時針方向為正。這樣，平面上任一點P的位置就可以用線段OP的長度ρ以及從Ox到OP的角度θ來確定，有序數對（ρ，θ）就稱為P點的極坐標，記為P（ρ，θ）；ρ稱為P點的極徑，θ稱為P點的極角。當限制ρ≥0，0≤θ<2π時，平面上除極點Ο以外，其他每一點都有唯一的一個極坐標。極點的極徑為零 ，極角任意。若除去上述限制，平面上每一點都有無數多組極坐標，一般地 ，如果（ρ，θ）是一個點的極坐標 ，那么（ρ，θ+2nπ），（－ρ，θ+（2n+1）π），都可作為它的極坐標，這裡n 是任意整數。平面上有些曲線，採用極坐標時，方程比較簡單。例如以原點為中心，r為半徑的圓的極坐標方程為ρ=r 等速螺線的極坐標方程為ρ=aθ 。此外，橢圓、雙曲線和拋物線這3種不同的圓錐曲線，可以用一個統一的極坐標方程表示。對於平面上任意一點p，用ρ表示線段op的長度，稱為點p的極徑或矢徑，從ox到op的角度θε[0，2π]，稱為點p的極角或輻角，有序數對(ρ，θ)稱為點p的極坐標。極點的極徑為零，極角不定。除極點外，點和它的極坐標成一一對應。

極坐標系

直線的極坐標方程

若直線過點M(ρ0,θ0),且極軸到此直線的角為α,則它的方程為:

ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α).

幾個特殊位置的直線的極坐標方程

(1)直線過極點: θ=θ0，θ=π+θ0 ;

(2)直線過點M(a,0)且垂直於極軸: ρcosθ= α ;

(3)直線過M(b,π/2)且平行於極軸: ρsin θ=b

圓的極坐標方程

若圓心為M(ρ0,θ0),半徑為r的圓方程為:ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0.

幾個特殊位置的圓的極坐標方程

(1)當圓心位於極點,半徑為r: ρ=r ;

(2)當圓心位於M(a,0),半徑為a: ρ=2acos θ ;

(3)當圓心位於M(a, π/2 ),半徑為a: ρ=2asin θ .

常見曲線的參數方程

(1)經過點P0(x0,y0),傾斜角為α的直線的參數方程為

x=x0+tcosα,y=y0+tsinα (t為參數).

設P是直線上的任一點,則t表示有向線段P0P的數量.

(2)圓的參數方程為x=rcosθ,y=rsinθ

(θ為參數).

圓錐曲線的參數方程

橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的參數方程

為 x=acosθ,y=bsinθ (θ為參數 ) .

雙曲線 x^2/a^2 - y^2/b^2=1 (a>0,b>0)的參數方程

為 x= asecθ ,y=btanθ (θ為參數).

拋物線y^2=2px的參數方程為 x=2pt^2,y=2pt (t為參數).

直角坐標與極坐標的互化

把直角坐標系的原點作為極點,x軸正半軸作為極軸,並在兩坐標系中取相同的長度單位.設M是平面內的任意一點,它的直角坐標、極坐標分別為(x,y)和(ρ,θ),則

x=ρcosθ,y=ρsinθ

ρ^2=x^2+y^2, tanθ=y/x (x≠0)