極坐標方程

在數學中，極坐標系是一個二維坐標系統。該坐標系統中任意位置可由一個夾角和一段相對原點—極點的距離來表示。極坐標系的套用領域十分廣泛，包括數學、物理、工程、航海、航空以及機器人領域。在兩點間的關係用夾角和距離很容易表示時，極坐標系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標系中，這樣的關係就只能使用三角函式來表示。對於很多類型的曲線，極坐標方程是最簡單的表達形式，甚至對於某些曲線來說，只有極坐標方程能夠表示。

基本介紹

• 中文名：極坐標方程
• 外文名：Polar equation of a curve
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學
• 適用領域範圍：數學
• 定義：點在空間中的位置而引入的參照系

歷史

眾所周知，希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學家喜帕恰斯（190-120 BC）製成了一張求各角所對弦的弦長函式的表格。並且，曾有人引用了他的極坐標系來確定恆星位置。在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個半徑隨角度變化的方程。希臘人作出了貢獻，儘管最終並沒有建立整個坐標系統。

圖1.Hipparchos

關於是誰首次將極坐標系套用為一個正式的坐標系統，流傳著有多種觀點。關於這一問題的較詳盡歷史，哈佛大學教授朱利安·科利奇的《極坐標系起源》作了闡述。格雷瓜·德·聖-萬桑特和博納文圖拉·卡瓦列里，被認為在幾乎同時、並獨立地各自引入了極坐標系這一概念。聖-萬桑特在1625年的私人文稿中進行了論述並發表於1647年，而卡瓦列里在1635年進行了發表，而後又於1653年進行了更正。卡瓦列里首次利用極坐標系來解決一個關於阿基米德螺線內的面積問題。布萊士·帕斯卡隨後使用極坐標系來計算拋物線的長度。

在1671年寫成，1736年出版的《流數術和無窮級數》一書中，艾薩克·牛頓第一個將極坐標系套用於表示平面上的任何一點。牛頓在書中驗證了極坐標和其他九種坐標系的變換關係。在1691年出版的《博學通報》一書中雅各布·伯努利正式使用定點和從定點引出的一條射線，定點稱為極點，射線稱為極軸。平面內任何一點的坐標都通過該點與定點的距離和與極軸的夾角來表示。伯努利通過極坐標系對曲線的曲率半徑進行了研究。

實際上套用“極坐標”這個術語的是由格雷古廖·豐塔納開始的，並且被18世紀的義大利數學家所使用。該術語是由喬治·皮科克在1816年翻譯席維斯·拉克魯克斯的《微分學與積分學》 一書時，被翻譯為英語的。

亞歷克西斯·克萊羅和萊昂哈德·歐拉被認為是將平面極坐標系擴展到三維空間的數學家。

點的表示

正如所有的二維坐標系，極坐標系也有兩個坐標軸： （半徑坐標）和 （角坐標、極角或方位角，有時也表示為 或 。 坐標表示與極點的距離， 坐標表示按逆時針方向坐標距離0°射線（有時也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角坐標系中的x軸正方向。

比如，極坐標中的（3, 60°）表示了一個距離極點3個單位長度、和極軸夾角為60°的點。（−3, 240°）和(3, 60°)表示了同一點，因為該點的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點3個單位長度的地方（240° − 180° = 60°）。

極坐標系中一個重要的特性是，平面直角坐標中的任意一點，可以在極坐標系中有無限種表達形式。通常來說，點（r, θ）可以任意表示為（r, θ ±n×360°）或(−r, θ ± (2n+ 1)180°)，這裡n是任意整數。如果某一點的r坐標為0，那么無論θ取何值，該點的位置都落在了極點上。

使用弧度單位

極坐標系中的角度通常表示為角度或者弧度，使用公式2π*rad= 360°。具體使用哪一種方式，基本都是由使用場合而定。航海方面經常使用角度來進行測量，而物理學的某些領域大量使用到了半徑和圓周的比來作運算，所以物理方面更傾向使用弧度。

極坐標系與平面直角坐標系之間的變換

從極坐標 和 可以變換為直角坐標：

或：

從直角坐標 和 也可以變換為極坐標：

這方程式給出 在值域 的弧度。改用角度單位，值域為 。這些方程式假定極點是直角坐標系的原點 ，極軸為x-坐標軸，而y-坐標軸方向的弧度為 ，角度為 。

大多數常用程式語言會特別設定一個函式，專門從 和 坐標計算出正確的角坐標。例如，在C語言里，這函式標記為atan2(y,x)，在Common Lisp里，標記為(atan y x)。對於這兩種案例，計算結果是在值域 內的弧度。這 的數值是複函數輻角的主值（principal value），注意到當 和 都等於零時，輻角沒有定義值；對於這案例，為了方便起見，將輻角設定為零。

假若需要，將角坐標 在值域 的數值加上 ，則可得到在值域 的數值。

極坐標系方程

• 函式：用極坐標系描述的曲線方程稱作極坐標方程，通常表示為r為自變數θ的函式。
  
• 對稱：極坐標方程經常會表現出不同的對稱形式，如果r(−θ) =r（θ），則曲線關於極點（0°/180°）對稱，如果r(π−θ) = r(θ)，則曲線關於極點（90°/270°）對稱，如果r(θ−α) = r(θ)，則曲線相當於從極點逆時針方向旋轉α°。
  

圓

在極坐標系中，圓心在（r₀, φ）半徑為a的圓的一般方程為：

特定情況：比如方程：

表示一個以極點為中心半徑為a的圓。

導引：

設圓的半徑為 ，圓心的極坐標為 ，並變換為直角坐標： 。則圓上的點的直角坐標系方程為：

設圓上的點的極坐標為 ，則

因此：

化簡為：

直線

過極點的射線方程：

其中φ為射線的傾斜角。若m為直角坐標系的射線的斜率，則有φ = arctanm。任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。這些在點（r₀, φ）處的直線與射線θ = φ垂直，其方程為：

玫瑰線

極坐標的玫瑰線是數學曲線中非常著名的曲線，看上去像花瓣，它只能用極坐標方程來描述，方程如下：

圖2.一條方程為r(θ)=2sin4θ的玫瑰線

如果k是整數，當k是奇數時那么曲線將會是k個花瓣，當k是偶數時曲線將是2k個花瓣。如果k為非整數，將產生圓盤狀圖形，且花瓣數也為非整數。注意：該方程不可能產生4的倍數加2（如2，6，10……）個花瓣。變數a代表玫瑰線花瓣的長度。

阿基米德螺線

阿基米德螺線在極坐標里使用以下方程表示：

改變參數a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ>0，另一條θ<0。兩條螺線在極點處平滑地連線。把其中一條翻轉 90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。

圓錐曲線

圓錐曲線方程如下：

其中l表示半正焦弦，e表示離心率。如果e< 1，曲線為橢圓，如果e= 1，曲線為拋物線，如果e> 1，則表示雙曲線。

其中e表示離心率，p表示焦點到準線的距離。

其他曲線

由於坐標系統是基於圓環的，所以許多有關曲線的方程，極坐標要比直角坐標系（笛卡爾形式）簡單得多。比如伯努利雙紐線，蚶線，還有心臟線。

套用

定位和導航

極坐標通常被用於導航，作為旅行的目的地或方向可以作為從所考慮的物體的距離和角度。例如，飛機使用極坐標的一個略加修改的版本進行導航。這個系統中是一般的用於導航任何種類中的一個系統，在0°射線一般被稱為航向360，並且角度是以順時針方向繼續，而不是逆時針方向，如同在數學系統那樣。航向360對應地磁北極，而航向90，180，和270分別對應於磁東，南，西。因此，一架飛機向正東方向上航行5海里將是在航向90（空中交通管制讀作090）上航行5個單位。

建模

有徑向對稱的系統提供了極坐標系的自然設定，中心點充當了極點。這種用法的一個典型例子是在適用於徑向對稱的水井時候的地下水流方程。有徑向力的系統也適合使用極坐標系。這些系統包括了服從平方反比定律的引力場，以及有點源的系統，如無線電天線。

行星運動的克卜勒定律

極坐標提供了一個表達在引力場中克卜勒行星運行定律的自然數的方法。克卜勒第一定律，認為環繞一顆恆星運行的行星軌道形成了一個橢圓，這個橢圓的一個焦點在質心上。上面所給出的二次曲線部分的等式可用於表達這個橢圓。克卜勒第二定律，即等域定律，認為連線行星和它所環繞的恆星的線在等時間間隔所劃出的區域是面積相等的，即是常量。這些等式可由牛頓運動定律推得。在克卜勒行星運動定律中有相關運用極坐標的詳細推導。