過半徑為a的定圓上一個定點O,任作一直線l交圓周於另一點P0,在l上取P點,使得|PP0l=b(b>0),則P點的軌跡稱為蝸線,也稱為蚶線。
基本介紹
- 中文名:蚶線
- 外文名:limacon (of Pascal);Pascal’s snail
- 所屬學科:數學(幾何學)
- 相關概念:蚌線(或螺形線)
- 別稱:蝸線、帕斯卡蚶線
定義,蚶線的形狀,蚶線的方程,蚶線的基本性質,
定義
設C是一條已知曲線,O是一個定點,通過O作直線和曲線C相交於點P,在這直線上點P的兩側各取一點M,使|PM|總等於某個定長
,那么,這種點M的軌跡叫作已知曲線C關於已知點O的蚌線(或螺形線)。曲線C叫作蚌線的基線,定點O叫作蚌線的極點,定長
叫作蚌線的間隔。
![](/img/4/490/99427c58444e5b9cf50213de5924.jpg)
![](/img/0/20c/5e32f94ed3b32bec4cf703614792.jpg)
設C是平面上的一個定圓,O是位於定圓C上的一個定點,那么,圓C關於點O的蚌線叫作帕斯卡蚶線(或蝸線),簡稱蚶線。
蚶線的形狀
由蚶線的定義,不難描繪出蚶線,由於定圓C的直徑h與間隔a的大小關係不同,蚶線呈現三種不同的形狀,如表1。當
時,這種特殊的蚶線也叫作心臟線。
![](/img/5/93b/9d775a91e290d8c9f359a8e101f3.jpg)
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蚶線的方程
如圖2,以蚶線的極點
為端點,通過基線圓的圓心作射線
,以點
為極點,以
為極軸建立極坐標系,設基線圓的直徑為h,蚶線的間隔為
,蚶線上任意一點M的極坐標為
,那么,
。由於
,所以有
![](/img/c/9de/57e70683ac7419d25c22ae0da970.jpg)
![](/img/e/104/6578fe66ff21c195321f575803e8.jpg)
![](/img/c/9de/57e70683ac7419d25c22ae0da970.jpg)
![](/img/e/104/6578fe66ff21c195321f575803e8.jpg)
![](/img/c/e35/3a161260fa71554eb7ef00a7271e.jpg)
![](/img/a/526/10083fb591ef331d7445b39694c2.jpg)
![](/img/e/72c/d70c326d7780d6032faed4090b5d.jpg)
![](/img/1/c18/0b444a7808242a29bc4537685247.jpg)
![](/img/9/5db/0ce784a510e955a1454e5306af40.jpg)
![圖2 圖2](/img/3/914/nBnauMTZidTZlVTO0UzY4YGOmJmMwgDNiFjN2EmZkZmNxQWOiFTZjZWZ2E2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
和蚌線的情形一樣
![](/img/a/0c0/0cc3888bda6390da76b640953821.jpg)
和
![](/img/d/fb5/18a21287c96962059fc7d6b93755.jpg)
定理1以蚶線的極點
為極點,以通過基線圓的圓心的射線
為極軸建立坐標系,若蚶線的基線圓的直徑為h,間隔為
,則這蚶線的極坐標方程為
![](/img/2/14f/08f485c4f19d8099a10cd7ec3dd7.jpg)
![](/img/e/104/6578fe66ff21c195321f575803e8.jpg)
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![](/img/b/337/27bfaeaf0e2172516cc34e12be08.jpg)
蚶線的基本性質
蚶線(2)的基本性質:
(1)對稱性 只關於極軸對稱。
(2)周期性 周期為
,如表2,當
由0增大到
時,得到蚶線的上半部(當
時,有一小部分在極軸下側);當
由
增大到
時,得到蚶線的下半部(當
時,有一小部分在極軸下側);當
由
增大到
時,得到蚶線的下半部(當
時,有一小部分在極軸上側)。
![](/img/9/701/977aa3d9ca4a7f70669d3652b6dc.jpg)
![](/img/6/cd7/012c981c3aba176d51c8de83f367.jpg)
![](/img/d/250/933910685e42cdd03a4c7ef54af1.jpg)
![](/img/7/68f/bc57b1c6babe6a5ec55a9af5846e.jpg)
![](/img/6/cd7/012c981c3aba176d51c8de83f367.jpg)
![](/img/d/250/933910685e42cdd03a4c7ef54af1.jpg)
![](/img/9/701/977aa3d9ca4a7f70669d3652b6dc.jpg)
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![](/img/6/cd7/012c981c3aba176d51c8de83f367.jpg)
![](/img/d/250/933910685e42cdd03a4c7ef54af1.jpg)
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![](/img/7/68f/bc57b1c6babe6a5ec55a9af5846e.jpg)
(3)存在範圍 因
,所以
不能無限增大,所以蚶線囿於一有限範圍內。
![](/img/e/365/7f985ef674fe8eb13ed9e4139055.jpg)
![](/img/d/b28/4502ca25bd35cecd64528189ad4d.jpg)