過半徑為a的定圓上一個定點O,任作一直線l交圓周於另一點P0,在l上取P點,使得|PP0l=b(b>0),則P點的軌跡稱為蝸線,也稱為蚶線。
基本介紹
- 中文名:蚶線
- 外文名:limacon (of Pascal);Pascal’s snail
- 所屬學科:數學(幾何學)
- 相關概念:蚌線(或螺形線)
- 別稱:蝸線、帕斯卡蚶線
定義,蚶線的形狀,蚶線的方程,蚶線的基本性質,
定義
設C是一條已知曲線,O是一個定點,通過O作直線和曲線C相交於點P,在這直線上點P的兩側各取一點M,使|PM|總等於某個定長
,那么,這種點M的軌跡叫作已知曲線C關於已知點O的蚌線(或螺形線)。曲線C叫作蚌線的基線,定點O叫作蚌線的極點,定長
叫作蚌線的間隔。
![](/img/2/91e/9b3c0c6564579c96e2e3969b8621.jpg)
![](/img/8/388/eb746325983088aefcfd6c0ec897.jpg)
設C是平面上的一個定圓,O是位於定圓C上的一個定點,那么,圓C關於點O的蚌線叫作帕斯卡蚶線(或蝸線),簡稱蚶線。
蚶線的形狀
由蚶線的定義,不難描繪出蚶線,由於定圓C的直徑h與間隔a的大小關係不同,蚶線呈現三種不同的形狀,如表1。當
時,這種特殊的蚶線也叫作心臟線。
![](/img/c/946/c76d04936681dbb643f3c8055e76.jpg)
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蚶線的方程
如圖2,以蚶線的極點
為端點,通過基線圓的圓心作射線
,以點
為極點,以
為極軸建立極坐標系,設基線圓的直徑為h,蚶線的間隔為
,蚶線上任意一點M的極坐標為
,那么,
。由於
,所以有
![](/img/2/1e3/b978b9ec8722862e042e58dcb74f.jpg)
![](/img/b/a31/112789465a1feb99e10c930bb5f5.jpg)
![](/img/2/1e3/b978b9ec8722862e042e58dcb74f.jpg)
![](/img/b/a31/112789465a1feb99e10c930bb5f5.jpg)
![](/img/7/fe5/373b3c666c595c451d3851528b36.jpg)
![](/img/8/6b2/592612b00502691d8cc7fdccee1d.jpg)
![](/img/8/012/90b2a8563255f0aee8d5e5e14382.jpg)
![](/img/3/753/1617ad30638ebd5a9741df991a62.jpg)
![](/img/8/9d1/85c99cbbf34b0e5a1f2c34e631ea.jpg)
![圖2 圖2](/img/3/914/nBnauMTZidTZlVTO0UzY4YGOmJmMwgDNiFjN2EmZkZmNxQWOiFTZjZWZ2E2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
和蚌線的情形一樣
![](/img/3/7ca/25e5d198d40dbb74a3639a3c6dbb.jpg)
和
![](/img/2/5e2/897abff434518c973bc075993846.jpg)
定理1以蚶線的極點
為極點,以通過基線圓的圓心的射線
為極軸建立坐標系,若蚶線的基線圓的直徑為h,間隔為
,則這蚶線的極坐標方程為
![](/img/0/c73/2fded2cf0ffbaf4abe71d8ad27b0.jpg)
![](/img/b/a31/112789465a1feb99e10c930bb5f5.jpg)
![](/img/7/fe5/373b3c666c595c451d3851528b36.jpg)
![](/img/3/7ca/25e5d198d40dbb74a3639a3c6dbb.jpg)
![](/img/4/d4e/c5da4c0332d3eeb564a7ee8442c5.jpg)
蚶線的基本性質
蚶線(2)的基本性質:
(1)對稱性 只關於極軸對稱。
(2)周期性 周期為
,如表2,當
由0增大到
時,得到蚶線的上半部(當
時,有一小部分在極軸下側);當
由
增大到
時,得到蚶線的下半部(當
時,有一小部分在極軸下側);當
由
增大到
時,得到蚶線的下半部(當
時,有一小部分在極軸上側)。
![](/img/5/b43/6436d9a6a33dfe0abe1e84b788af.jpg)
![](/img/6/b31/98c129bc6e9826a3f91190ca8290.jpg)
![](/img/c/7e5/c4a4bc50edf45296fa4afe10f67d.jpg)
![](/img/d/a65/0c9c94430b19c712214478e38736.jpg)
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![](/img/c/7e5/c4a4bc50edf45296fa4afe10f67d.jpg)
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![](/img/d/a65/0c9c94430b19c712214478e38736.jpg)
(3)存在範圍 因
,所以
不能無限增大,所以蚶線囿於一有限範圍內。
![](/img/1/cb8/312fd2cf0421b7a0047ce1578501.jpg)
![](/img/0/e21/9dbdf4ff5389e9c2e6b34cfdec59.jpg)