伯努利雙紐線

關於伯努利雙紐線的描述首見於1694年雅各布·伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理。橢圓是由到兩個定點距離之和為定值的點的軌跡。而卡西尼卵形線則是由到兩定點距離之乘積為定值的點的軌跡。當此定值使得軌跡經過兩定點的中點時，軌跡便為伯努利雙紐線。伯努利將這種曲線稱為lemniscate，為拉丁文中“懸掛的絲帶”之意。伯努利雙紐線在科技和輕工業領域也得到了廣泛套用，伯努利還將伯努利雙紐線套用於賭博術中。

基本介紹

• 中文名：伯努利雙紐線
• 外文名：lemniscate
• 別稱：雙紐線
• 學科：數學
• 提出時間：1694年
• 提出者：雅各布·伯努利

簡介

伯努利雙紐線，也稱雙紐線，關於它的描述首見於 1694 年，雅各布· 伯努利將其作為橢圓的一種類比來處理。設定線段 長度為2a，若動點M滿足 ，那么M的軌跡稱為伯努利雙紐線。雙紐線可通過等軸雙曲線經過反演得到，即它是雙曲線關於圓心在雙曲線中心的圓的反演圖形。伯努利雙紐線是卡西尼卵形線和正弦螺線等曲線的特殊情況，這就意味著伯努利雙紐線在溝通各曲線研究上起到了重要的作用， 因此對於伯努利雙曲線的探討顯得尤為重要和迫切。雙紐線在數學曲線領域的地位占有至關重要的地位， 對於伯努利雙紐線的研究有助於我們更好地研究其他相關曲線，達到觸類旁通的效果。 伯努利雙紐線在輕工業和科技方面都得到廣泛而恰到好處的套用，因此，對於伯努利雙紐線的研究是很有現實意義的。

雙紐線是函式圖形，不僅體現了數學美的對稱、和諧、抽象、簡潔、精確、統一、奇異、突變，同時也具有特殊的有價值的藝術美，是形成其它一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術家設計作品的主要幾何元素。雙紐線函式圖形輪廓像阿拉伯數字中的“8”，在中國8是個簡單的數字，但是現代人卻給了它更豐富的意思。在南方那是發財的意思，因為和漢字“發”諧音。通過雙紐線的外延和內涵，在不對其變形的基礎上，對雙紐線函式圖形進行可用圖式的概括，在此基礎上可以創作出許多優秀的藝術作品。

伯努利雙紐線方程

如圖1所示為一雙紐線圖形。

圖1

在數學中，對於長度為2a的定線段 ，雙紐線在平面直角坐標系下的方程為 ：

伯努利雙紐線在極坐標中也有簡潔的表示 ：

在雙極坐標系，伯努利雙紐線的方程也類似：

伯努利雙紐線的性質

（1）在笛卡爾坐標系中，伯努利雙紐線關於坐標原點對稱，坐標原點是具有切線 y=±x 的結點和拐點。從伯努利雙紐線上任何一點 M到給定的兩點 的距離之積，等於 之間的距離的平方。曲線的形狀類似於打橫的阿拉伯數字 8 或者無窮大的符號 。

（2）伯努利雙紐線的曲率在直角坐標系中可以表示為：

（3）伯努利雙紐線的曲率半徑為：

（4）伯努利雙紐線每個回線圍成的面積為：

套用

（1）在紡織中的套用： 伯努利雙紐線在紡織中作為花紋得到廣泛套用， 用雙紐線編織的布料外形美觀，結構緊密，具有重複性和漸變性。

（2）在增壓器中的套用： 伯努利雙紐線無撞擊雙進氣拓寬流量增壓器在工業中得到廣泛套用。

（3）在賭博術中的套用：在雅各布·伯努利的《猜度術》一書中，將伯努利雙紐線廣泛套用到賭博術中。

雙紐線函式圖形在紡織中的可用圖式

重複型

重複構圖是同一形象以類同方式多次出現，利用大自然和人類生活中的重複現象，從中產生快意和秩序感。自然界中固有的和人工造成的重複很多，如雙生子；永不休止的海浪拍岸；體育比賽中錄像重放；建築中門、窗和柱飾的重複；層層梯田等。

圖2 重複型

如圖2所示，運用重複構圖對雙紐線函式圖形進行重複構圖，可在紡織品中用作花邊或底紋進行修飾，從而增加趣味和美感。

漸次型

漸次就是連續出現的群體形象的變化。表現出同方向的遞增和遞減，具有一定的規律性，比如：向水中投石所形成的水環；公路上電線桿由於透視關係所產生的漸次；中國古塔建築中每一層相同的飛檐的遞減關係等。每一次的漸次變化不能太大，太大了不是漸次，太小了又形成了重複，關鍵在一個“遞”字。在構圖中各種形象關係由上——下、多——少、大——小、強——弱的漸次均可入畫，黑——白、實——虛、冷——暖的漸次均可入畫。

圖3 漸次型

漸次型構圖方式在現代紡織中運用的越來越多，視覺上容易給人秩序的美感，運用雙紐線函式圖形進行漸變構圖，能在眾多紡織品中突顯。如圖3所示。

對稱型

軸的兩邊或周圍的形象對應等同。對稱構圖分整體對稱和局部對稱。整體對稱指大形骨架對稱，局部對稱指一些細節對稱。要注意對稱的微妙變化，如形象的對稱置換，方位顛倒，體量的調整等。在紡織品中，對稱型的構圖非常普遍。如圖4，雙紐線函式圖形本身就具有對稱的美感，在其本身就可做出對稱的多種形式，適用於紡織品中。

圖4 對稱型

重疊型

形體與形體之間的重疊，有時形成一個新的重合形象，有時是互不影響的兩個或兩個以上的形象同在一個構圖中透疊存在。重疊後可理解為上下、前後的關係。重疊不能沒有，否則沒有層次。但不能太多，重疊太多，遮遮掩掩就會使形象和結構混亂而不清晰。當大面積重疊形象輪廓和結構不清晰時，也可採用“透疊”處理，透疊手法即形象與形象之間互相透明重疊，形成新的裝飾圖形。透疊效果可打破大面積黑影而造成的沉悶，增加黑白或色彩層次，活躍畫面氣氛。如圖5，通過對雙紐線函式圖形進行旋轉式重疊，構成一個花式圖形，在紡織品中能增加其視覺效果。

圖5 重疊型

發射型

發射是一種特殊的重複，是雙紐線函式圖形環繞一個或多箇中心點向外散開或向內集中。自然界盛開的花朵就屬於發射的形狀。另外，發射也可以說是一種特殊的漸變。它同漸變一樣，雙紐線函式圖形要作有序的變化。但是，發射有兩個顯著的特徵：

圖6 發射型

（1）發射具有很強的聚焦，這個焦點通常位於畫面的中央；

（2）發射有一種深邃的空間感，光學的動感，使所有的圖形向中心集中或者由中心向四周擴散。

如圖6，是由雙紐線函式圖形組合成發射型圖式，這種類型圖式在民族紡織的運用較多，其視覺衝擊力強。