勒讓德建立了許多重要的定理，尤其是在數論和橢圓積分（Elliptic Integrals）方面，提出了對素數定理（Prime Number Theorem）和二次互反律（Quadratic Reciprocity）的猜測並發表了初等幾何教科書。他的代表作有：《行星外形的研究》（1784），當中給出處理特殊函式的“勒讓德多項式”，論述了該多項式的性質；《幾何學基礎》（1794），將幾何理論算術化、代數化，詳細討論了平行公設問題，證明了圓周率π和π2的無理性，該書在歐洲用作權威教科書達一個世紀之久；《數論》（1798－1830），論述了二次互反律及其套用，給出連分數理論及素數個數的經驗公式等，使他成為解析數論的先驅者之一；《橢圓函式論》，提出三類基本橢圓積分，證明每個橢圓積分可以表示為這三類積分的組合，並編制了詳盡的橢圓積分數值表，還引用若干新符號，使他成為橢圓積分理論的奠基人之一。
不過，這一課題及一般形式的超橢圓函式理論，需要更系統的處理．這正是勒讓德在他的“關於橢圓超越性的論文”(Mémoire sur les transcendantes elliptiques，1793)一文中所提供的．他提出對這一類型的所有函式應進行比較，將其區別歸類，把每一個變成可能的最簡形式，並利用最容易、最快速的近似法對其求值，進而作為一個整體從理論上建立一個算法系統．
勒讓德後來的研究，從幾個方面完成了這一理論．1809年，他發表了“各種不同定義的積分的研究”(Recherches sur diverses sortes d’intégrales difinies)一文，繼續從事對歐拉積分(這一術語是勒讓德給出的)，特別是對Г函式的研究．1811年，勒讓德在《積分練習》(Exercices de calcul intégral) 一書中，進一步給出了三角表示理論，令
數論是勒讓德特別關注的第二個重要領域．早在1785年，他所發表的“不定分析的研究”(Recherches d’analyse indétermi-née)一文中即載有二次剩餘互反律及其若干套用的一個說明，把數分解成三個平方數的理論的概述，還陳述了一條以後變得很有名的定理：“每一個首項和公比互素的算術級數中都含有無限多個素數．”1798年，他又發表了他的《數論隨筆》(Essai sur la théoriedes nombres)一書的第一版．他在這本書里，用更系統和更徹底的方法處理了“不定分析的研究”中的那些論題．該書是18世紀數論學科的主要著作之一．第二版以《數論》(Théorie des nom-bres)為名於1808年出版．在這一版的引言中，勒讓德提到要高度注意嚴密性，這一點是值得讚揚的．在這一版中，他利用和 P．de費馬(Fermat)的無窮遞減法有關的技巧證明了整數乘積的變換性．作為歐拉和拉格朗日的一個直接追隨者，勒讓德和他們一樣，經常使用連分數的算法，用來解一階不定方程，並用來證明費馬方程x-Ay=1 恆有一個整數解．以後他又給第二版增加了兩個附錄(1816，1825)．第二個附錄中含有方程x+y=z不可能有整數解的一個漂亮的證明．接著就是對這條定理的更複雜情形的考察．該書第三版分成兩卷，於1830年5月問世．第三版發展了第一版中的內容，並添上一些在很大程度上受到 C．F．高斯(Gauss)影響的新思想．這一版特別有價值．它和高斯的《算術研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)一起同為這門學科中的標準著作．
在他的《幾何學原理》(Eléments de géométrie，1794)的附註4(發表於該書的第一版)中，勒讓德利用連分數的算法建立了蘭伯特定理(1761)：圓的周長和直徑的比是一個無理數．他改進了這一結果，證明了這個比的平方也是一個無理數，並補充說：“很可能數π甚至不包含在代數無理數中，但是要嚴格說明這個命題似乎是非常困難的．”
天體力學是勒讓德在他早年科學研究生涯中關心過的另一個領域．他年輕時曾從事關於星球的相互吸引問題和它們的平衡方式的研究．1783年1月，他在科學院宣讀過一篇關於這一問題的論文，該文發表在《外國博學者文集》(Recueil des savants étran- gers，1785)一書中．他在這篇文章中證明了一條定理：如果旋轉體對位於軸的延長線上每一外點的引力為已知，則它對每一外部點的引力也可求得。文章中出現了我們現在所謂的勒讓德多項式．對這一多項式的研究引起了以後一系列浩瀚的工作．
1784年7月，勒讓德在科學院宣讀了“關於行星形狀的研究”(Recherches sur la figure des planètes)．他在此文中推導出勒讓德多項式的一些性質，並將這些性質和其他性質運用到萬有引力的問題上．此後不久，他又發表了“關於地球形狀結果的三角運算”(Mémoire sur les opérations trigonomètriques dont les résultats dépendent de la figure de la terre)．在這篇文章中有一個關於球面三角的“勒讓德定理”：
1790年，勒讓德發表了“論重積分”(Mémoire sur les inté-grales doubles)一文．他在這篇文章里完成了他關於球體吸引的分析、包括對非均勻球體情形的研究，以及某些微分方程的特殊積分的探討．
18世紀末，由R．de普隆尼(Prony)領導的法國勘測局編制了三張數學用表，即：按一直角的每千分之十度計算角的餘弦，精確到小數第22位；按一直角的每千分之一百度計算正弦的對數，精確到小數第12位；以及從1到200 000各個數的對數，也是精確到小數第12位．這項工作由以勒讓德為首的分析學家們組成的一個小組進行準備，勒讓德設計了一些新的公式用以確定正弦的相繼的差，並根據一些恆等式對計算出來的結果相互驗證．1802年，勒讓德寫道：“這三張表是用新方法計算出來的，主要是基於差分演算的方法，它們是樹立於科學事業中最出色的紀念碑之一．”這些手抄表的抄本被收存在經度局中．有一篇解釋性的文章發表在《專科學校論文集》(Mémoires de l'Institut，1801)里．
還有一個重要領域是勒讓德的著作中所涉及到的，即初等幾何——特別是平行線理論．他在這方面的著作《幾何學原理》多次再版並被翻譯成英文、德文、羅馬尼亞文，支配了這門課程的初等教育幾乎達一個世紀．附於書中的詳細注釋至今尚有一定的價值．1793年，公眾教育委員會又委託他和拉格朗日合寫了一本題為《微分學和幾何學原理》(Eléments de calcul et de géométrie)的教材．《幾何學原理》中的教義式的表述，標誌著法國在很大程度上對歐幾里得的迷信．在非歐幾何學家為了使他們的概念被公眾接受所作的鬥爭中，這本書倍受責難．1832年，勒讓德曾回憶起他在1794年至1823年為證明歐幾里得平行公理所作的種種努力，他本人從未認識到這一切都是徒勞的．實際上，在他的一個似乎是無可挑剔的證明中，可以找到一個謬誤．正如I．牛頓(New-ton)的眾多信徒一樣，勒讓德也篤信絕對空間和直線三角形邊的“絕對的量”．遵循拉格朗日在《都靈雜錄》(Mémoires de Turin，1761)中所提出的倍受青睞的“量的齊次性法則”，勒讓德在1794年建立了三角形的內角和定理．假若給定三角形的一條邊a和該邊的兩個鄰角B，C，則此三角形可以唯一確定．第三個角A應為已知各量的函式：A=∮(B，C，a)，但A，B，C是純粹數量，a是長度。視a為未知量，解方程A=∮(B，C，a)，所得的解為a=f (A，B，C)。
法國18世紀後期到19世紀初數學界著名的三個人物：勒讓德（Adrien-marie Legendre)、拉格朗日（Joseph Louis Lagrange)和拉普拉斯（Pierre-simon Laplace)三個人的姓氏的第一個字母為“L”，又生活在同一時代，所以人們稱他們為“三L”。他們為18世紀末19世紀初法國數學的復興做出重要貢獻，並曾擔任眾多的官方職務。
，
是模的補. 最簡單的超橢圓函式是第一類積分
. 第二類積分由長軸I和離心率c的橢圓弧表出,形式為
. 第三類積分為
,其中η為參數．
是由下面微分方程聯繫的兩個變數:
，且
，那么
，通過反覆使用這種變換，勒讓德建立了橢圓函式表，於1817年公開發表．
