基本介紹
定義,特殊函式表,符號,評估,歷史,經典理論,變革,二十世紀,當代理論,在數論中,參考,
定義
特殊函式是指一些具有特定性質的函式，一般有約定俗成的名稱和記號，例如伽瑪函式、貝塞爾函式、菲涅耳積分等。它們在數學分析、泛函分析、物理研究、工程套用中有著舉足輕重的地位。許多特殊函式是微分方程的解或基本函式的積分，因此積分表中常常會出現特殊函式，特殊函式的定義中也經常會出現積分。傳統上對特殊函式的分析主要基於對其的數值展開基礎上。隨著電子計算的發展，這個領域內開創了新的研究方法。因為微分方程的對稱性在數學和物理中的重要性，特殊函式理論也與李群和李代數密切相關。
事實上，對於哪些函式屬於特殊函式，並沒有明確的規定。函式列表中列出了一些通常被認為的特殊函式。廣義上，基本超越函式（即指數函式、對數函式、非有理次冪的冪函式、雙曲函式、三角函式等周期函式）也稱為特殊函式。
特殊函式表
許多特殊函式作為微分方程或基本函式積分的解出現。
因此，積分表通常包括特殊函式的描述，特殊函式表包括最重要的積分，至少是特殊功能的整體表現。
由於微分方程的對稱性對物理和數學都是至關重要的，所以特殊函式理論與李群和李代數的理論以及數學物理學中的某些主題密切相關。符號計算引擎通常識別大多數特殊功能。 並不是所有這樣的系統都具有有效的算法用於評估，特別是在複雜的平面上。
符號
具有既定國際符號的函式是sin，cos，exp，erf和erfc。
一些特殊函式有幾個符號：
（1）自然對數可以寫為Log, log, logeor ln；
（2）切線函式可以表示為Tan，tan或tg（特別是在俄語和保加利亞文學中）；
（3）反正切可寫為arctan，atan，arctg或tan；
（4）貝塞爾函式寫為
下標通常用於指示參數，通常是整數。 在一些情況下，分號（；）或甚至反斜槓（\）用作分隔設定。 在這種情況下，對算法語言的翻譯承認歧義，並可能導致混淆。
上標可能不僅指示取冪，而且可以表示功能的修改。 示例（特別是三角函式雙曲函式）包括：
評估
大多數特殊函式被視為複雜變數的函式，描述了奇點和切割。差分和積分表示是已知的，並且對泰勒級數或漸近序列的擴展是可用的。另外有時候還有其他特殊功能的關係；複雜的特殊功能可以用簡單的功能來表達。 各種表示可用於評估；評估函式的最簡單方法是將其擴展為泰勒級數。然而，如果有的話，這種表現可能會慢慢收斂。在算法語言中，通常使用有理近似，儘管它們在複雜參數的情況下可能表現不佳。
歷史
經典理論
儘管三角學可以被編纂，自十九世紀以來，尋求一個完整統一的特殊函式理論已經持續發展。 1800 - 1900年間特殊函式理論的最高點是橢圓函式理論；從那時起，就假設三角函式和指數函式的分析函式理論是一個基本的工具。 本世紀末，還對球面諧波進行了非常詳細的討論。
變革
當然，包括儘可能多的已知特殊函式的廣泛理論具有其吸引力，但其他動機也值得注意。長期以來，特殊函式套用於數學、物理科學和工程學確定了功能的相對重要性。
那么這個理論有兩個方面：
- 用於數值分析，發現無限系列或其他分析表達式，可以快速計算；
- 減少儘可能多的函式。
相比之下，人們可能會說，數學中有一些典型的方法：漸近分析，複雜平面中的分析延續和單調，以及行列中無盡公式背後的對稱性原則和其他結構的發現。 事實上，這些方法之間沒有真正的衝突。
二十世紀
二十世紀對特殊函式理論興趣正濃。惠特克和沃森（1902）的經典教科書試圖通過使用複雜的變數來統一理論；G. N. Watson將貝塞爾功能理論技術儘可能地推廣到一種特別允許漸近研究的重要類型。
後來的貝特曼手稿項目，在亞瑟·埃里迪亞（ArthurErdélyi）的編輯下，被百科全書收錄，當電子計算出現的時候，表格不再是主要的問題。
當代理論
正交多項式的現代理論是一個確定但有限的範圍。 超幾何系列成為一個複雜的理論。李代數，特別是他們的表征理論，解釋了一般的球面函式； 從1950年起，古典理論的實質部分可以用李代數來重寫。此外，代數組合的工作也喚起了對理論的較舊部分的興趣。 Ian G. Macdonald的猜想幫助開創了具有典型特色函式的新領域。
在數論中
在數論中，傳統上研究了某些特殊功能，例如特定的狄里克雷系列和模組化形式。特別函式理論的幾乎所有方面都能在數論中反映出來，還有一些新的延伸，例如從月球理論中得到的函式。
參考
（1）數學函式列表；
（2）特殊函式和同義詞列表。
