數學物理方程與特殊函式(清華大學出版社圖書)

圖書信息

書名：數學物理方程與特殊函式

作者：楊奇林

ISBN：9787302258551

語種：簡體中文

定價：19.00元

出版日期：2011-7-11

出版社：清華大學出版社

圖書簡介

本書主要介紹了三類基本二階線性偏微分方程--波動方程、熱傳導方程和位勢方程的各種求解方法以及特殊函式的基礎知識。全書分8章，分別是：一些典型方程和定解條件的推導、偏微分方程的基本概念和分類、特徵線法、分離變數法、特殊函式、積分變換法、Green函式法、偏微分方程數值解初步。

本書比較全面地介紹了偏微分方程基本解理論，求解波動方程的特徵線法，作為特殊函式理論基礎的Sturm-Liouville理論，三種類型邊值問題Green函式的求法；特別介紹了用Riemann映射定理求Green函式的方法。本書例題豐富，習題選取少而精；講解推理自然，深入淺出。

本書可作為理科非數學專業和工程科學各專業本科的教材或教學參考書。

前言

17~18世紀，Newton-Leibniz創立的微積分在經典力學上得以廣泛運用並取得了輝煌的成就。二體問題的解決、海王星的發現，都是常微分方程成功套用於質點動力學的壯麗篇章。隨著分析力學的發展，人們開始研究連續變化的介質，如弦振動、彈性固體變形、流體流動等複雜力學現象的規律，得到了一系列偏微分方程。古典力學的Hamilton-Jacobi理論和計算變分的Euler-Lagrange方程都會導出偏微分方程。1864年J.Maxwell用以其命名的偏微分方程組預言了光是一種電磁波，這個預言20年後被H。 Hertz的試驗證實：廣義相對論中Einstein引力場方程的球對稱解，準確解釋了水星，並預言了太陽引力場中光線的偏折，成為廣義相對論正確性的有力論證。在量子力學中偏微分方程的套用更是隨處可見。在過去的兩個多世紀裡，偏微分方程不僅成功地套用於物理學和其他自然科學，預見和揭示了小到夸克、大到天體的物質運動普遍規律。也為純粹數學積累了豐富的素材，成為近代抽象數學發展的重要推動力量。

偏微分方程不僅僅是古典多元微積分的副產品，它的無可置疑的有效性和高度的複雜性，使得它成為一門獨立的學科和我們理解自然科學、提高科學文化素質的必需營養。在氣象、機械、電信、化工、生態、經濟、人口和其他社會科學的各個領域中都會遇到表現為偏微分方程的數學模型，解釋這些模型的合理性和尋求它們的解成為科學工作者的重要課題，而並不只是數學家們的責任。隨著科學研究分工的專業化和科學計算的飛速發展，偏微分方程理論將逐漸走出數學家們的殿堂，成為自然科技工作者們的重要工具。

數學物理方程(法)作為微積分和常微分方程課程的繼續來介紹偏微分方程的基礎知識，它雖然有鮮明的個性特點，但絕不是孤立的、無可捉摸的難學。國內早在20世紀六七十年代就出現了很多優秀的數學物理方程教材，但這些教材的不足是講解、例題和習題都過於繁瑣，既不利於教，也不利於學，以至於很多人對這門課望而生畏。自從開設這門課以來，出現了一些簡寫改編的教材，但又似乎過於簡略，把許多基本的重要內容都省掉了。在為清華大學電子系學生授課的過程中，本人結合前輩教材的優點，萌生了編寫本教材的念頭，希望為同學們提供一本更加適合他們的教材，來彌補前述教材的不足。編寫此教材的基本精神是:數學介紹要嚴謹，教材篇幅要適當，能介紹完主要的傳統教學內容，同時又有利於同學們的進一步學習。本著上述精神，本人對教材作了細緻深入的設計。在第1章和第2章中，用不太長的篇幅介紹了偏微分方程的分類，強調了線性偏微分方程和非線性偏微分方程的區別，通過與線性常微分方程類比介紹了線性偏微分方程的疊加原理和齊次化原理，並指出本課程只研究線性偏微分方程的求解，為同學們今後學習、了解非線性科學作點準備。第3章介紹了解波動方程的特徵線法。這個方法不僅可以解決傳統行波法沒法求解的一些波動方程，而且可以用於求解一些非線性偏微分方程，它思想較為簡單，技術上也不困難，而且在雙曲型方程的研究中被廣泛套用，所以我們通過它來引入一維波動方程的D’Alembert公式。第4章詳細準確地介紹了Sturm-Liouville問題的一般理論。這方面的內容在以前的教材中要么介紹得不夠詳細，要么介紹得不夠準確。這些不足導致的直接結果是影響了讀者對特殊函式的理解。然而同學們又很難找到系統介紹Sturm-Liouville理論的參考書。為了用較短的篇幅來介紹這方面的浩瀚內容，我們用與Hermitian矩陣類比的辦法，介紹了Sturm-Liouville問題的抽象數學理論，這樣有利於同學們系統理解分離變數法的一般理論。對於這部分內容所涉及的一些泛函分析(數學系大三專業課)的理論，初學者只需記住一些重要結論。第5章特殊函式的介紹強調了特殊函式的冪級數性質，儘量用冪級數的特點證明許多公式和命題，避免以前教材中的一些複雜技巧。本書將Bessel函式及(關聯)Legendre函式的正交關係和模長作為特殊的Sturm-Liouville問題來處理，有利於同學們理解Sturm-Liouville問題的一般理論和分離變數法的一般步驟。避免了一些額外的數學技巧，也有利於他們學習課本沒有涉及的其他類型的特殊函式。第6章介紹積分變換法，選材側重於用分離變數法不能求解的無界區域上的定解問題，避免了同一問題的重複講解。傳統教材中介紹的保角變換法處理的問題很有限，第7章用很短的篇幅介紹了怎樣用單複變函數論的Riemann映射定理來求平面上一般單連通區域的Green函式，從而可以完全求解平面上一般單連通區域上的第一邊值問題，在此基礎上介紹了怎樣用分離變數法求第二、第三邊值問題的Green函式。鑒於微分方程數值解越來越為廣大科技工作者所運用，第8章簡單地介紹了差分法、變分法以及有限元法的入門知識，為同學們進一步學習相關課程或閱讀相關課外書籍做準備。

數學物理方程與特殊函式(清華大學出版社圖書)

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