橢圓積分

在積分學中，橢圓積分最初出現於橢圓的弧長有關的問題中。Guilio Fagnano和歐拉是最早的研究者。

通常，橢圓積分不能用基本函式表達。這個一般規則的例外出現在P有重根的時候，或者是R(x,y)沒有y的奇數冪時。但是，通過適當的簡化公式，每個橢圓積分可以變為只涉及有理函式和三個經典形式的積分。（也即，第一，第二，和第三類的橢圓積分）。

基本介紹

• 中文名：橢圓積分
• 外文名：elliptic integral
• 性質：積分學
• 領域：數學
• 最早的研究者：Guilio Fagnano和歐拉
• 相關術語：雅可比橢圓函式

定義

在積分學中，橢圓積分最初出現於橢圓的弧長有關的問題中。Guilio Fagnano和歐拉是最早的研究者。現代數學將橢圓積分定義為可以表達為如下形式的任何函式f的積分

其中R是其兩個參數的有理函式，P是一個無重根的3或4階多項式，而c是一個常數。

通常，橢圓積分不能用基本函式表達。這個一般規則的例外出現在P有重根的時候，或者是R,沒有 y的奇數冪時。但是，通過適當的簡化公式，每個橢圓積分可以變為只涉及有理函式和三個經典形式的積分。（也即，第一，第二，和第三類的橢圓積分）。

除下面給出的形式之外，橢圓積分也可以表達為勒讓德形式和Carlson對稱形式。通過對施瓦茨-克里斯托費爾映射的研究可以加深對橢圓積分理論的理解。歷史上，橢圓函式是作為橢圓積分的逆函式被發現的，特別是這一個：其中是雅可比橢圓函式之一。

記法

橢圓積分通常表述為不同變數的函式。這些變數完全等價（它們給出同樣的橢圓積分），但是它們看起來很不相同。很多文獻使用單一一種標準命名規則。在定義積分之前，先來檢視一下這些變數的命名常規：

模角

橢圓模;

參數;

上述三種常規完全互相確定。規定其中一個和規定另外一個一樣。橢圓積分也依賴於另一個變數，可以有如下幾種不同的設定方法：

幅度

其中

，其中而是雅可比橢圓函式之一

規定其中一個決定另外兩個。這樣，它們可以互換地使用。注意也依賴於 m。其它包含的關係有

和

後者有時稱為δ幅度並寫作。有時文獻也稱之為補參數，補模或者補模角。這些在四分周期中有進一步的定義

第一類不完全

第一類不完全橢圓積分F定義為

與此等價，用雅可比的形式，可以設；則

其中，假定任何有豎直條出現的地方，緊跟豎直條的變數是（如上定義的）參數；而且，當反斜槓出現的時候，跟著出現的是模角。 在這個意義下，，這裡的記法來自標準參考書Abramowitz and Stegun。

但是，還有許多不同的用於橢圓積分的記法。取值為橢圓積分的函式沒有（象平方根，正弦和誤差函式那樣的）標準和唯一的名字。

注意

其中u如上文所定義：由此可見，雅可比橢圓函式是橢圓積分的逆。

加法公式

導數

第二類不完全

第二類不完全橢圓積分E是

與此等價，採用另外一個記法（作變數替換），

其它關係包括

加法公式

性質

導數

第三類不完全

第三類不完全橢圓積分是

或者

或者

數字n稱為特徵數，可以取任意值，和其它參數獨立。但是要注意對於任意m是無窮的。

第一類完全

第一類完全橢圓積分K(k)

如果幅度為或者 x=1，則稱橢圓積分為完全的。第一類完全橢圓積分K可以定義為

或者

它是第一類不完全橢圓積分的特例：

第一類完全橢圓積分有時稱為四分周期。它可以利用算術幾何平均值來快速計算。

第二類完全

第二類完全橢圓積分E(k)

第二類完全橢圓積分E可以定義為

或者

它是第二類不完全橢圓積分的特殊情況：

第三類完全

不同 n值的第三類完全橢圓積分

第三類完全橢圓積分可以定義為

注意有時第三類橢圓積分被定義為帶相反符號的n，也即

函式關係

勒讓得關係: