魏爾斯特拉斯橢圓函式

在數學中，魏爾斯特拉斯橢圓函式又稱ρ函式，是格外簡單的一類橢圓函式，也是雅可比橢圓函式的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函式。

基本介紹

• 中文名：魏爾斯特拉斯橢圓函式
• 外文名：Weierstrass's elliptic functions
• 分類：數理科學

定義

固定 中的格 （ 在 上線性無關），對應的魏爾斯特拉斯橢圓函式定義是

。

顯然右式只與格 相關，無關於基 之選取。 的元素也稱作周期。

另一方面，格 在取適當的全純同態 後可表成 ，其中 屬於上半平面。對於這種形式的格，

。

反之，由此亦可導出對一般的格之公式

在數值計算方面， 可以由Θ函式快速地計算，方程是

在周期格中的每個點， 有二階極點。

是偶函式。

復導函式 是奇函式。

加法定理

假設 ，上式有一個較對稱的版本

此外

魏爾斯特拉斯橢圓函式滿足複製公式：若 不是周期，則

微分方程與積分方程

定義 （依賴於 ）為

求和符號 意謂取遍所有非零的 。當 時，它們可由艾森斯坦級數表示。

則魏爾斯特拉斯橢圓函式滿足微分方程

故 給出了從復環面 映至三次復射影曲線 的全純映射；可證明這是同構。

另一方面，將上式同除以{\displaystyle \wp '}，積分後可得

右側是複平面上的路徑積分，對不同的路徑 ，其積分值僅差一個 的元素；所以左式應在復環面 中考慮。在此意義下，魏爾斯特拉斯橢圓函式是某類橢圓積分之逆。

模判別式

續用上節符號，模判別式定義為下述函式

視為周期格的函式，這是權 12 之模形式。模判別式也可以用戴德金η函式表示。