克羅內克爾符號

設I為集合，I×I的對角線的特徵函式稱為克羅內克爾符號（Kronecker symbol），並記為δ。習慣上將這個映射視為通過集合I×I確定下標的族；於是：如果i≠j,δ_ij=0；如果i=j,δ_ij=1。

基本介紹

• 中文名：克羅內克爾符號
• 外文名：Kronecker symbol
• 所屬學科：數學
• 符號表示：δij
• 相關概念：愛因斯坦求和符號等

定義

愛因斯坦(Einstein)求和符號：數學式子任意一項中如出現一對符號相同的指標，則稱為愛因斯坦求和符號，它是啞指標，表示求和。例如：

任意兩個正交單位向量點積用表示，稱為克羅內克爾符號，即

式中：——自由指標。

式(1)表示。

相關性質

(1) 克羅內克爾符號的定義表明具有對稱性，與指標排列順序無關，即

(2) 克羅內克爾符號的分量是單位矩陣的各個元素，在三維空間中可表示為

可以通過以下例子掌握克羅內克爾符號的運算規律。例如

式(2)的一般表達式為

再如

式(3)的一般表達式為

式表明，在符號的兩個指標中，如果有一個和同項中其他因子的指標相重，則可把該因子的那個重指標換成的另一個指標，而自動消失。由於是個張量，又考慮到它的置換性質和運算元的作用，故也稱為置換張量或置換運算元。在式中，在同一項中不重複出現的指標i和j稱為自由指標或指定指標。

（3）利用的定義式可立即證明的代換性質。設有一任意階的張量例如三階張量，則有

例如設，則(3)中的第一式為

可以證明的值在正交笛卡爾坐標系的變換中保持不變。

克羅內克爾

克羅內克爾是德國銀行家，之後又是數學家(1823年生於Liegnitz，1891年卒於柏林)。他在橢圓函式方面做了不少工作，他的基本貢獻在於代數數論，與維爾斯特拉斯同時，他引入了行列式現在的定義，張量乘積是由他給出的。

克羅內克爾曾任柏林大學教授(1883)。柏林科學院院士(1861)，英國皇家學會會員(1884)。對代數學及數論方面有貢獻。研究了任意線性方程組的聯立檢驗法，給出求帶有理係數的已知多項式有理因子的方法。提出數論方面的克羅內克爾定理。倡導數學的算術化和證明的嚴密性，與魏爾斯特拉斯函式論學派及康托爾集合論學派進行了長期論戰。對方程式論、橢圓函式論、交換環論亦有研究。