他用冪級數來定義解析函式，並建立了一整套解析函式理論，與柯西（Cauchy，Augustin-Louis ，1789.8.21-1857.5.23）、黎曼（Riemann，Georg Friedrich Bernhard ，1826.9.17-1866.7.20）一起被稱為函式論的奠基人。從已知的一個在限定區域內定義一個函式的冪級數出發，根據冪級數的有關定理，推導出在其它區域中定義同一函式的另一些冪級數，這是他的一項重要發現。他把整函式定義為在全平面上都能表示為收斂的冪級數的和的函式；還斷定，若整函式不是多項式，則在無窮遠點有一個本性奇點。魏爾斯特拉斯關於解析函式的研究成果，組成了現今大學數學專業中複變函數論的主要內容。
微積分創立之初，Newton和Leibniz都沒有清楚地理解也沒有嚴密地定義微積分的基本概念。首先的批評來自荷蘭的物理學家和幾何學家B.Nieuwentijdt，他批評新方法的含糊，他抱怨說無法理解無窮小量怎樣和0有區別，並質問為什麼無窮小量的和能是有限的量。他還質問高階微分的意義和存在，質問在推理的過程中為何捨棄無窮小量。 Leibniz在1695年的《教師學報》的一篇文章中對此作了各種回答，他承認無窮小不是簡單的、絕對的零，而是相對的零。就是說，它是一個消失的量，但仍保持著它那正在消失的特徵。Leibniz更強調他所創造的東西在做法上或算法上的價值。他確信只要他清楚地表述並且恰當地運用他的運算法，就會獲得合理而正確的結果，而不管所用符號的意義怎樣可疑。 隨著微積分的概念與技巧的擴展，人們努力去補充被遺漏的基礎。Newton的英國追隨者試圖把微積分和幾何或物理概念聯結起來時，卻把Newton的“瞬”（moments,不可分增量）和“流數”（fluxions,連續變數）混淆了；追隨Leibniz的大陸學者致力於形式演算，也無法把概念嚴格化。法國數學家M.Rolle告誡說：微積分是巧妙的謬論的匯集。 十八世紀對微積分最強有力的批評來自George Berkeley主教。1734年，他發表了《分析學者，或致一個不信教的數學家。其中審查現代分析的對象、原則與推理是否比之宗教的神秘與信條，構思更為清楚，或推理更為明顯》。Berkeley正確地批判了Newton的許多論點，他說Newton首先給出x一個增量，然後又讓它是零，這違背了“背反律”(the law of contradiction)，而且所得的“流數”實際上是 00 。對於dy與 dx之比，Berkeley說它們“既不是有限量也不是無窮小量，但又不是無”，這些變化率只不過是“消失的量的鬼魂”(the ghosts of departed quantities)。Berkeley還攻擊l’Hospital和其他歐洲學者提出的微分法。Berkeley說微分之比應該決定割線而不是決定切線，依靠“忽略高級無窮小消除誤差”的做法是“錯誤互相抵償”。Berkeley的批評一針見血，擊中要害。 按照數學本質的現代觀點，Berkeley批評中哲學的想像多於數學的嚴格，但Newton 所用的很多名詞確實需要邏輯上的澄清。Berkeley批評的意義在於使這一事實引起了重視。結果，在此後的七年中，出現了約有30多種小冊子和論文，企圖糾正這種情形。如James Jurin於1734年發表《幾何學，非不信教的朋友》，Benjamin Robins在1735年著書《論Newton爵士的流數法以及最初比與最終比方法的本質與可靠性》。為了答覆Berkeley對Newton在《求積術》中給出的求流數方法的異議，Jurin說：在這種情況下，不是令增量為零，而是讓增量“成為消失”或“處在消失點上”，並聲稱“消失的增量是有最終比的”。Jurin回答表明他沒有足夠地理解Berkeley的論證或極限概念的本質。Berkeley在《捍衛數學中的自由思想》（1735）中批評Jurin是在“捍衛他所不了解的東西”。在這篇著作中，Berkely再次抓住Newton觀點中的矛盾，以說明瞬、流數和極限等概念的含糊不清。Jurin同年在《小小數學家》中的回答，依然是躲躲閃閃地重複其辭。他說“一個初生的增量是一個剛開始存在於烏有中的增量，或剛開始生長的增量，但是還沒有達到任何可指定的無論怎樣小的量。”他對Newton的最終比還是照字義理解為“在消失那個瞬間的它們的比。”Jurin不用極限去解釋Newton關於乘積的“瞬”的引理，反而讓自己捲入了無窮小量的糾纏之中，可見這個“消失的量的鬼魂”是很難揮之而去的。 為了回擊Berkeley, Colin Maclaurin在他的《流數論》（1742）中，企圖建立微積分的嚴密性。Maclaurin喜愛幾何，因而他試圖根據希臘幾何和窮竭法建立流數學說，他希望這樣可以避開極限概念。這是一個值得讚揚，卻不正確的努力。德國數學家萊布尼茨英國主教喬治·貝克萊英國數學家麥克勞林
新的探路者
當英國的數學家們忙於論證流數法中所涉及的各種觀點的有效性時，微積分在歐洲大陸上正在快速地獲得人們的歡迎。 歐洲大陸的數學家更多的依靠代數表達式的形式演算，而不是幾何。這種方法的代表是Euler。Euler拒絕把幾何作為微積分的基礎，而是純粹形式地研究函式。 Euler形式化的方法的真正貢獻是把微積分從幾何中解放出來，而使它建立在算術和代數的基礎上。這一步至少為基於實數系統的微積分的根本論證開闢了道路。但是，對這種形式主義的做法，仍有人表示憂慮。1743年d’Alembert說，“直到現在，表現出更多關心的是去擴大建築，而不是在入口處張燈結彩；是把房子蓋的更高些，而不是給基礎補充適當的強度。”不過，他鼓勵學習微積分的學生：“堅持，你就會有信心。 (Persists and faith will come to you.)” Lagrange也決心給微積分提供全部的嚴密性，這從他《解析函式論》（1797）的小標題“包含著微積分學的主要定理，不用無窮小、或正在消失的量、或極限和流數等概念，而歸結為有限量的代數分析藝術”可以看出他的雄心壯志。的確，流數法沒有引起Lagrange的興趣，因為它引用了”運動”這一無關的思想。Euler把dx和dy作為0的講法也不能使他滿意，因為對兩個變成零的項的比，缺乏清楚而明確的認識。Lagrange致力於尋找一個簡單的代數方法。在1759年，他似乎滿足地認為已找到這個方法，因為在那一年，他寫信給Euler說，他相信已研究出力學和微分學原理儘可能深的真正理論基礎。不過，特別要指出，Lagrange的工作純粹是形式的，他用符號表達式來進行計算，不涉及極限、連續等根本性的概念。 在十八世紀行將結束的時候，1797年出現了Lazare Carnot所寫的《關於無限小微積分的哲學思想》，這可能是解決困難的一次最著名的嘗試。鑒於當時流行的有關微積分學的論文缺乏明確性和統一性，Carnot想搞出一套嚴格精確的理論。考慮到這一學科許多矛盾的理解，Carnot的目的是澄清“無限小分析真正的精神是什麼。”在選擇統一的原理時，卻做出了一個遺憾的選擇。他總結說，“無限小分析的真正的哲學原理…仍然是…誤差補償原理。”在闡述這一觀點時，他實質上返回到Leibniz表達過的思想上去。他主張要肯定兩個指定量嚴格相等，只要證明它們的差不能是一個“指定量”就夠了。Carnot進一步注釋Leibniz的觀點說：我們可以把任意一個量換成另一個與它相差無限小的量；無限小的方法只不過是把窮竭法簡化為一種計算方法；“無法感覺的量”只起輔助作用，引入它只是為了計算的方便，在得到最後結果以後就可以消除它。 Carnot甚至用連續性定律(principle de continuite)來重複Leibniz所偏愛的解釋。他說，可以有兩種觀點來理解無限小分析，看你是把無限小當作“有效量”，還是當作“絕對的零”。在第一種情況中，Carnot認為微分學可以用誤差補償作為基礎來解釋：“不完美方程”通過消除一些稱為誤差的量這一簡便的手段，就變成“完美精確”的了；在第二種情況，Carnot認為微分學是相互比較消失量的一種“藝術”，從這些比較中尋找出那些給出量之間的關係。對於消失量既是零又不是零這種反對意見，Carnot回答說，“所謂無限小量並不是任意的零，而是為決定關係的那個連續性定律所給出的零。”雖然Carnot的著作受到了普遍的歡迎，直到1921年還在法國出版，並譯成了好幾種文字，但很難評價它是否正確引導了人們對分析學所包含的困難有較清楚的理解。 Carnot是一個著名的軍人、行政人員，並受到法國議會授予的“勝利的組織者”(Organizer of Victory)的稱號。作為一個強調數學的價值是與科學套用關係的數學家，分析學在他的思想中是方程而不是函式概念，儘管從他的書名看是偏重於理論，但書中對運算法則在套用上的方便，比所涉及的邏輯推理更加受到注意。 十八世紀的幾乎每一個數學家都對微積分的邏輯基礎作了一些努力，雖然一二個路子對頭，但所有的努力都沒有結果。在缺乏基礎的情況下，怎么對各種函式進行分析演算呢？那就是：在他們的心裡依靠物理和直觀，在他們的手中有著簡單的代數函式——從簡單而具體的函式中發現性質，然後推廣到所有的函式上去。他們施展了高超的技巧，發掘並增進了微積分的威力，大刀闊斧的拓展新的領地：無窮級數、微分方程、微分幾何和變分法，從而建立起現在數學中最廣闊的領域——數學分析。 十八世紀的數學家們完全陶醉於自己取得的偉大成就，對於失去的嚴密性大都無動於衷。正是因為十八世紀的數學家們在沒有邏輯支持的情況下，仍如此勇敢地衝殺向前，所以這段時期被稱為數學的“英雄年代(the heroic age ) ” 。瑞士數學家歐拉法國數學家達朗貝爾法國數學家拉格朗日法國數學家和工程師拉扎爾·卡諾德國數學家高斯
Bolzano,Cauchy,Weiestrass和其他人的工作給分析提供了嚴密性。這些工作把微積分及其推廣從對幾何概念、運動和直覺了解的完全依賴中解放出來。這些研究一開始就造成了巨大的轟動。據說，在巴黎科學院的一次科學會議上，Cauchy提出級數收斂性的理論，會後，Laplace急忙趕回家裡避不見人，檢查他在《天體力學》中所用到的級數，幸而書中用到的每一個級數都是收斂的。 分析的嚴密化促進了這樣的認識：對於數系缺乏清晰的理解這件事本身非補救不可。例如Bolzano關於閉區間連續函式的“零點定理”的證明，一個關鍵的錯誤就是因為對實數系缺乏足夠的理解；對於極限的深入研究，也需要理解實數系。Cauchy不能證明他自己關於序列收斂準則的充分性，也是由於他對實數系的結構缺乏深入的理解。Weierstrass指出，為了要細緻地建立連續函式的性質，需要算術連續統的理論——這正是分析算術化的根本基礎。 1872年，是近代數學史上最值得紀念的一年。這一年，F.Kline提出了著名的“埃爾朗根綱領”（Erlanger Programm），Weierstrass給出了處處連續但處處不可微函式的著名例子。也正是在這一年，實數的三大派理論：Dedekind“分割”理論；Cantor、Henie、Meray的“基本序列”理論，以及Weierstrass的“有界單調序列”理論，同時在德國出現了。 努力建立實數的目的是為了給出一個形式化的邏輯定義，它既不依賴幾何的含義，又避免用極限來定義無理數的邏輯錯誤。有了這些定義做基礎，微積分中關於極限的基本定理的推導，才不會有理論上的循環。導數和積分從而可以直接在這些定義上建立起來，免去任何與感性認識聯繫的性質。幾何概念是不能給出充分明白和精確的，這在微積分發展的漫長歲月的過程中已經被證明。因此，必要的嚴格性只有通過數的概念，並且在割斷數的概念與幾何量觀念的聯繫之後才能完全達到。這裡，Dedekind的工作受到了崇高的評價，這是因為，由“Dedekind分割”定義的實數，是完全不依賴於空間與時間直觀的人類智慧的創造物。 1858年，Dedekind在講授微積分的時候就表示出要尋求使分析嚴格化途徑的願望，他說：“…決不能認為以這種方式引入微分學是科學的。這一點已經得到公認。至於我本人，也無法克制這種不滿意的感覺而下定決心研究這個問題，直到建立為無窮小分析原理建立純粹算術的和完全嚴格的基礎為止。”Dedekind不去考慮如何定義無理數，才能避免Cauchy的惡性循環，而是考慮如果算術方法明顯失敗，在連續幾何量中，究竟存在什麼使它解決了這個困難：即連續性的本質是什麼？沿著這個方向去思索，Dedekind了解到一條直線的連續性，不能用模糊的聚在一起來說明，而只能作為將直線用點來劃分的性質。他看出將直線上的點分成兩類，使一類中的每點都在另一類中每點的左邊，則存在一點而只有一點，產生這個劃分(cut)。這對有序的有理數系是不成立的。這就是為什麼直線上的點構成一個連續統（continuum），而有理數則不可能。正如Dedekind所說，“由這樣的平凡之見，暴露了連續性的秘密。” 實數的三大派理論本質上是對無理數給出嚴格定義，從而建立了完備的實數域。實數域的構造成功，使得兩千多年來存在於算術與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數不再是“無理的數”了，古希臘人的算術連續統的構想，也終於在嚴格的科學意義下得以實現。 接下來的目標是給出有理數的定義與性質。Ohm、Weierstrass、Kronecker、Peano在這方面做出了傑出的工作。在1859年前後，Weierstrass等人就認識到：只要承認了自然數，建立實數就不再需要進一步的公理了。因此建立實數理論的關鍵是有理數系，而建立有理數系的核心，就在於構造普通整數的基礎並確立整數的性質。1872-78年間，Dedekind給出了一個整數理論。 1889年，Peano最先利用公理化的方法，用一組公理引進了整數，從而建立了完備的自然數理論。Peano創設的符號， 如“∈”表示屬於，“ ”表示包含，N0表示自然數類，a+表示後繼於a的下一個自然數，對今天仍影響深遠。可誰能相信正是因為他在課堂上也使用這些符號，因而學生們造了反，他試著用全部及格的辦法去滿足他們，但沒有起作用。因而他被迫辭去在Turin大學的教授職位。 Kronecker說：“上帝創造了整數，其它一切都是人造的”(God made the integers, all the rest is the work of man)。(參考文獻[5],p477)但是，在分析算術化的進程中，整數並沒有因為是上帝的寵兒而得到它的豁免權。 尋求統一是數學發展的重要動力。回溯“分析算術化”的整個歷程，我們發現在起跑處人們並不知道終點在那裡，也更不知道路該怎么走。從Pythagrass學派關於不可公度量的發現，到Zeno悖論引發的對無限概念的關切，從而孕育了導致微積分的各種研究。當Dedekind、Cantor、Weierstrass等人把無理數建立在有理數的基礎上，而最後由Peano給出自然數的邏輯公理，終於完成了有理數論,因此實數系的基礎問題最終宣告完備。微積分學的基本概念——連續變數的極限：導數和積分，在邏輯上的嚴密性，在形式上的嚴謹性，有如Euclid幾何學一般的令人讚嘆！中國的先哲們有句古話：九九歸一！如果我們把這裡的“一”理解為自然數之首的“1”，那么，關於微積分學的歷史發展，Pythagoras的名言是驚人的貼切：萬物皆數！（All is number.） 1900年,在巴黎舉行的第二屆國際數學大會上，Poincare不無自豪的讚嘆到： “今天在分析中，如果我們不厭其煩地嚴格的話，就會發現只有三段論或歸結於純數的直覺是不可能欺騙我們的。今天我們可以宣稱絕對的嚴密已經實現了。”法國數學家拉普拉斯德國數學家康托爾德國數學家戴德金義大利數學家皮亞諾德國數學家克羅內克法國數學家龐加萊
法國數學家柯西
德國波恩大學
米塔-列夫勒
德國數學家黎曼
微積分
俄國著名女數學家柯瓦列夫斯卡婭
柏林工業大學
英國數學家、物理學家牛頓
德國數學家萊布尼茨
英國主教喬治·貝克萊
英國數學家麥克勞林
瑞士數學家歐拉
法國數學家達朗貝爾
法國數學家拉格朗日
法國數學家和工程師拉扎爾·卡諾
德國數學家高斯
俄羅斯數學家羅巴切夫斯基
捷克數學家波爾查諾
挪威數學家阿貝爾
法國數學家柯西
德國數學家希爾伯特
法國數學家拉普拉斯
德國數學家康托爾
德國數學家戴德金
義大利數學家皮亞諾
德國數學家克羅內克
法國數學家龐加萊