笛卡爾坐標系

笛卡爾坐標系（Cartesian coordinates，法語：les coordonnées cartésiennes）就是直角坐標系和斜坐標系的統稱。

相交於原點的兩條數軸，構成了平面放射坐標系。如兩條數軸上的度量單位相等，則稱此放射坐標係為笛卡爾坐標系。兩條數軸互相垂直的笛卡爾坐標系，稱為笛卡爾直角坐標系，否則稱為笛卡爾斜角坐標系。

基本介紹

• 中文名：笛卡爾坐標系
• 外文名：Cartesian coordinates
• 領域：數學
• 釋義：直角坐標系和斜坐標系的統稱
• 屬性：一种放射坐標系
• 推廣：空間笛卡爾坐標系

坐標系簡介

笛卡爾坐標系就是直角坐標系和斜角坐標系的統稱。 相交於原點的兩條數軸，構成了平面放射坐標系。如兩條數軸上的度量單位相等，則稱此放射坐標係為笛卡爾坐標系。兩條數軸互相垂直的笛卡爾坐標系，稱為笛卡爾直角坐標系，否則稱為笛卡爾斜角坐標系。需要指出的是，請將數學中的笛卡爾坐標系與電影《異次元殺陣》中的笛卡爾坐標相區分，電影中的定義與數學中定義有出入，請勿混淆。

二維的直角坐標系是由兩條相互垂直、0 點重合的數軸構成的。在平面內，任何一點的坐標是根據數軸上對應的點的坐標設定的。在平面內，任何一點與坐標的對應關係，類似於數軸上點與坐標的對應關係。採用直角坐標，幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來。幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守這代數公式。

二維坐標系

二維的直角坐標系通常由兩個互相垂直的坐標軸設定，通常分別稱為 x-軸和 y-軸；兩個坐標軸的相交點，稱為原點，通常標記為 O ，既有“零”的意思，又是英語“Origin”的首字母。每一個軸都指向一個特定的方向。這兩個不同線的坐標軸，決定了一個平面，稱為 xy-平面，又稱為笛卡爾平面。通常兩個坐標軸只要互相垂直，其指向何方對於分析問題是沒有影響的，但習慣性地（見右圖），x-軸被水平擺放，稱為橫軸，通常指向右方；y-軸被豎直擺放而稱為縱軸，通常指向上方。兩個坐標軸這樣的位置關係，稱為二維的右手坐標系，或右手系。如果把這個右手系畫在一張透明紙片上，則在平面內無論怎樣旋轉它，所得到的都叫做右手系；但如果把紙片翻轉，其背面看到的坐標系則稱為“左手系”。這和照鏡子時左右對掉的性質有關。

為了要知道坐標軸的任何一點，離原點的距離。假設，我們可以刻畫數值於坐標軸。那么，從原點開始，往坐標軸所指的方向，每隔一個單位長度，就刻畫數值於坐標軸。這數值是 刻畫的次數，也是離原點的正值整數距離；同樣地，背著坐標軸所指的方向，我們也可以刻畫出 離原點的負值整數距離。稱 x-軸刻畫的數值為 x-坐標，又稱橫坐標，稱 y-軸刻畫的數值為 y-坐標，又稱縱坐標。雖然，在這裡，這兩個坐標都是整數，對應於坐標軸特定的點。按照比例，我們可以推廣至實數坐標 和其所對應的坐標軸的每一個點。這兩個坐標就是直角坐標系的直角坐標，標記為(x，y)。

任何一個點 P 在平面的位置，可以用直角坐標來獨特表達。只要從點 P畫一條垂直於 x-軸的直線。從這條直線與 x-軸的相交點，可以找到點 P 的 x-坐標。同樣地，可以找到點 P 的 y-坐標。這樣，我們可以得到點 P 的直角坐標。

直角坐標系也可以推廣至三維空間（3 dimension）與高維空間 (higher dimension) 。

直角坐標系的兩個坐標軸將平面分成了四個部分，稱為象限，分別用羅馬數字編號為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。依照慣例，象限Ⅰ的兩個坐標都是正值；象限Ⅱ的 x-坐標是負值， y-坐標是正值；象限Ⅲ的兩個坐標都是負值的；象限Ⅳ的 x-坐標是正值， y-坐標是負值。所以，象限的編號是按照逆時針方向，從象限Ⅰ編到象限Ⅳ。

三維坐標系

放射坐標系和笛卡爾坐標系平面向空間的推廣：相交於原點的三條不共面的數軸構成空間的放射坐標系。三條數軸上度量單位相等的放射坐標系被稱為空間笛卡爾坐標系。三條數軸互相垂直的笛卡爾坐標系被稱為空間笛卡爾直角坐標系，否則被稱為空間笛卡爾斜角坐標系。

空間直角坐標系

為了溝通空間圖形與數的研究，我們需要建立空間的點與有序數組之間的聯繫，為此我們通過引進空間直角坐標系來實現。 過定點O，作三條互相垂直的數軸，它們都以O為原點且一般具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統稱坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正方向要符合右手規則，即以右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以π/2角度轉向正向y軸時，大拇指的指向就是z軸的正向，這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點。這樣就構成了一個笛卡爾坐標。

在三維笛卡爾坐標系中，三個平面，xy-平面，yz-平面，xz-平面，將三維空間分成了八個部分，稱為卦限(octant) 空。第Ⅰ卦限的每一個點的三個坐標都是正值。

產生過程

據說有一天，法國哲學家、數學家笛卡爾生病臥床，病情很重，儘管如此他還反覆思考一個問題：幾何圖形是直觀的，而代數方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數方程結合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？要想達到此目的，關鍵是如何把組成幾何圖形的點和滿足方程的每一組“數”掛上鉤，他苦苦思索，拚命琢磨，通過什麼樣的方法，才能把“點”和“數”聯繫起來。突然，他看見屋頂角上的一隻蜘蛛，拉著絲垂了下來，一會功夫，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲。蜘蛛的“表演”使笛卡爾的思路豁然開朗。他想，可以把蜘蛛看做一個點，它在屋子裡可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的每個位置用一組數確定下來呢？他又想，屋子裡相鄰的兩面牆與地面交出了三條線，如果把地面上的牆角作為起點，把交出來的三條線作為三根數軸，那么空間中任意一點的位置就可以用這三根數軸上找到有順序的三個數。反過來，任意給一組三個有順序的數也可以在空間中找出一點P與之對應，同樣道理，用一組數（x、y）可以表示平面上的一個點，平面上的一個點也可以有用一組兩個有順序的數來表示，這就是坐標系的雛形。

直角坐標系的創建，在代數和幾何上架起了一座橋樑，它使幾何概念用數來表示，幾何圖形也可以用代數形式來表示。由此笛卡爾在創立直角坐標系的基礎上，創造了用代數的方法來研究幾何圖形的數學分支——解析幾何， 他大膽構想：如果把幾何圖形看成是動點的運動軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特徵的點組成的。舉一個例子來說，我們可以把圓看作是動點到定點距離相等的點的軌跡，如果我們再把點看作是組成幾何圖形的基本元素，把數看作是組成方程的解，於是代數和幾何就這樣合為一家人了。

電影定義

在電影《異次元殺陣》系列中，笛卡爾坐標的定義有所差別。電影主要講述的是若干人身處一個神秘密室（cube），密室是一個正方體，上下左右前後都有一道門，可以通往隔鄰的另一密室，只有通過特定的方式才能逃離這個地方。Cube由一個巨大的立方體以及包在立方體外的一層外殼組成，兩者之間存在一定空間，大立方體內還包含許多小立方體房間，類似於魔方。Cube只有一個出口，只有到達了連線外殼與內部立方體的那個房間才能走出Cube，這個房間在影片中被稱為“橋”。每一個房間棱長14尺（略長於4米）。大立方體每條邊有26個房間的長度，所以一共是26*26*26=17576個房間的大小。（但事實上沒有那么多房間，因為房間要移動必須留有一定的空間）

電影《異次元殺陣》

Cube中的每一個房間都標有三個三位數的數字。這三個三位數即構成了電影中所說的房間的笛卡爾坐標。電影中的笛卡爾坐標，它表示了點在空間中的位置，但卻和直角坐標有區別，兩種坐標可以相互轉換。舉個例子：某個點的笛卡爾坐標是493 ,454, 967，那它的X軸坐標就是4+9+3=16，Y軸坐標是4+5+4=13，Z軸坐標是9+6+7=22，因此這個點的直角坐標是(16, 13, 22)。

在電影中，所有的房間並非完全不動的，其運動規律也隱含在其笛卡爾坐標中。比如坐標為477, 804, 539的房間，它的直角坐標為(18, 12, 17)。對於每一個三位數數字作如下處理：
1. 百位數減去十位數
2. 十位數減去個位數
3. 個位數減去百位數
對三個數字都進行以上操作，也就是：
1. 477:4 - 7=-3 | 7-7=0 | 7-4=3
2. 804:8 - 0=8 | 0-4=-4 | 4-8=-4
3. 539:5 - 3=2 | 3-9=-6 |9-5=4
這樣就得到了三個向量(- 3, 8, 2)， (0, - 4, - 6)和(3, - 4, 4)。這三個向量表示了這個房間的移動軌跡，將轉換成直角坐標的表示房間初始位置的坐標（可以看成向量）依次加上這三個向量，即：
(18, 12, 17) + (- 3, 8, 2) = (15 ,20, 19)
(15, 20, 19) + (0, - 4, - 6) = (15, 16, 13)
(15, 16, 13) + (3, - 4, 4) = (18, 12, 17)
可以看到經過了三次變化以後又回到了原來的初始坐標(18, 12, 17)。每個房間也就是根據這個規律以(18, 12, 17) --> (15, 20, 19) --> (15, 16, 13) --> (18, 12, 17) -->…的軌跡移動的。

最後需要強調的是，數學中的 笛卡爾坐標系與電影《異次元殺陣》中的笛卡爾坐標的定義存在較大的差異，數學中的直角坐標屬於笛卡爾坐標的一種，請勿混淆。（因為笛卡爾坐標系就是直角坐標系和斜角坐標系的統稱，直角坐標即為直角坐標系中的笛卡爾坐標）

備註

笛卡爾在《方法談》一書附錄的《幾何學》這篇論文中，闡述了解析幾何的基本原理，創造了笛卡爾坐標系。

在笛卡爾以前，幾何和代數是兩門科學，幾何研究圖形，代數研究數。笛卡爾不滿意這兩門科學孤立研究的抽象性，企圖使二者聯繫起來，並使它們具體化。他通過他所設計的坐標系統標示法，以及他對於變數的深入研究，證明幾何問題可以歸結為代數問題，在求解時可以運用全部代數方法。從此，變數被引進了數學，成為數學發展中的轉折點，為微積分的出現創造了條件。笛卡爾坐標系被廣泛地套用在工程技術和物理學領域中。