時鐘坐標系

時鐘坐標系是以已知一點為坐標原點確定其它點的方位和距離的三維坐標系

基本介紹

• 中文名：時鐘坐標系
• 外文名：Clock coordinates
• 類別：三維坐標系
• 作用：確定三維空間中點線面及體的位置

定義

假設P點在三維空間的坐標為（x'，y'，θ‘）。那么|x'|是從YZ平面到P點距離，|y'|是從X軸到P點距離，0≤θ‘<2π是從X軸與P點形成的平面與XY平面的夾角。　這裡當x'=0，y'=0時，θ‘失去意義。

如用時鐘坐標系，找出P點的空間位置：

1. 從原點往X軸移動x'單位到達P'(0,x')點。
2. 以X軸為旋轉軸，將XY平面向外旋轉θ‘角。
3. 從X軸上P'點在旋轉過後的平面上移動y'單位到達P點（x',y',θ‘）。

坐標系變換

1.時鐘坐標系（x'，y'，θ‘）與笛卡爾坐標系（x，y，z)的轉換關係:

x=x'

y=y'cosθ‘

z=y'sinθ‘

2.反之，笛卡爾坐標系（x，y，z)與時鐘坐標系（x'，y'，θ‘）的轉換關係：

x‘=x

y‘=ysecθ'

θ‘=arctan(z/y)

3.時鐘坐標系（x'，y'，θ‘）與球坐標系（r，θ，φ)的轉換關係:

r=x'^2+y'^2

φ=arctg(y'cosθ‘/x')

θ=arccos(y'sinθ‘/r)

4.反之，球坐標系（x，y，z)與時鐘坐標系（x'，y'，θ‘）的轉換關係：

x‘=±√(r^2sinθ^2-x^2tanφ^2)

y‘=√(r^2cosθ^2+x^2tanφ^2)

θ‘=arctan(rcosθ/xtanφ)

時鐘坐標系下的微分關係

在時鐘坐標系中，沿基矢方向的三個增量元為：

dl=(dx’^2+dy’^2)^(1/2)；

ds=dx'dy'；

dh=y'dθ'；

面積元的體積為：dS=dl*dh=(dx’^2+dy’^2)^(1/2)y’dθ'

體積元的體積為：dV=ds*dh=y’dθ'dx'dy'；