球坐標

簡介

在數學里，球坐標系（Spherical coordinate system）是一種利用球坐標表示一個點p在三維空間的位置的三維正交坐標系。

右圖顯示了球坐標的幾何意義：原點與點P之間的徑向距離r，原點到點P的連線與正z-軸之間的天頂角θ，以及原點到點P的連線，在xy-平面的投影線，與正x-軸之間的方位角φ。

在學術界內，關於球坐標系的標記有好幾個不同的約定。按照國際標準化組織建立的約定（ISO 31-11），徑向距離、天頂角、方位角，分別標記為

。這種標記在世界各地有許多使用者。通常，物理界的學者也採用這種標記。而在數學界，天頂角與方位角的標記正好相反：φ被用來代表天頂角，θ被用來代表方位角。數學界的球坐標標記是

。這種標記的優點是較廣的相容性；在二維極坐標系與三維圓柱坐標系里，ρ都同樣地代表徑向距離，θ也都同樣地代表方位角。本條目採用的是物理標記約定。

假設P點在三維空間的位置的三個坐標是

。那么，0 ≤r是從原點到P點的距離，0 ≤θ≤ π是從原點到P點的連線與正z-軸的夾角，0 ≤φ< 2π是從原點到P點的連線在xy-平面的投影線，與正x-軸的夾角。

這裡，θ代表天頂角，φ代表方位角。當r=0時，θ與φ都一起失去意義。當θ=0或

時，φ失去意義。

如想要用球坐標，找出點P在空間的地點，可按照以下步驟：

地理坐標系用兩個角值，緯度與經度，來表示地球表面的地點。正如二維直角坐標系專精在平面上，二維球坐標系可以很簡易的設定圓球表面上的點的位置。在這裡，我們認定這圓球是個單位圓球；其半徑是1。通常我們可以忽略這圓球的半徑。在解析旋轉矩陣問題上，這方法是非常有用的。

球坐標系適用於分析一個對稱於點的系統。舉例而言，一個圓球，其直角坐標方程式為

，可以簡易的用球坐標系{\displaystyle \rho =c}來表示。

當求解三重積分時，如果定義域為圓球，則面積元素是

體積元素是

用來描述與分析擁有球狀對稱性質的物理問題，最自然的坐標系，莫非是球坐標系。例如，一個具有質量或電荷的圓球形位勢場。兩種重要的偏微分方程式，拉普拉斯方程與亥姆霍茲方程，在球坐標里，都可以成功的使用分離變數法求得解答。這種方程式在角部分的解答，皆呈球諧函式的形式。

球坐標的概念，延伸至高維空間，則稱為超球坐標(n-sphere)。