扁球面坐標

扁球面坐標是扁球面坐標系（英語：Oblate spheroidal coordinates）內的坐標。

基本介紹

• 中文名：扁球面坐標
• 外文名：oblate spheroidal coordinates
• 領域：數學

扁球面坐標系

扁球面坐標系（英語：Oblate spheroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面；兩個焦點的直角坐標分別為 與 。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 的圓圈，包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。

當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子（Perrin friction factors）的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散（rotational diffusion）。這程式又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學（protein NMR），的可行性。套用這程式，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裡的冷卻），等等方面的問題。

第一種表述

在三維空間裡，一個點P的扁球面坐標 常見的定義是：

其中， 是個實數，角度 ，角度 。

學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

坐標曲面

坐標曲面是扁球面 ：

它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著x-軸，長半軸長度為 ，沿著z-軸，短半軸長度為 。橢圓的焦點都包含於x-軸，x-坐標分別為 。

坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：

假若 是正值， 也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上；假若是負值，則在xy-平面以下。 是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸，x-坐標分別為 。

坐標曲面是個半平面 ：

逆變換

用直角坐標 來計算扁球面坐標 ，方位角 的公式為

設定 與 分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為

坐標 和 的方程式分別為：

標度因子

扁球面坐標 與 的標度因子相等：

方位角 的標度因子為

無窮小體積元素是

拉普拉斯運算元是

其它微分運算元，像 、 ，都可以用 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

第二種表述

概述

另外有一組有時會用到的扁球面坐標 ；其中， ， 。 坐標曲面是個扁球面， 坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：

其中，實數 ，實數 ，角度 。

標度因子

扁球面坐標 的標度因子分別為：

無窮小體積元素是：

拉普拉斯運算元是：

第三種表述

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 ：

坐標 必須大於或等於1。坐標 必須在正負1之間。 坐標曲面是扁球面。 坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負 的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標 映射至一組扁球面坐標系 ）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：

坐標 與 有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離 ，最近距離 ：

所以，點P與焦圓的最遠距離是 ，點P與焦圓的最近距離是 。

坐標曲面

坐標曲面是扁球面 ：

坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：

坐標曲面是半個平面 ：

標度因子

扁球面坐標 的標度因子分別為：

無窮小體積元素是：

拉普拉斯運算元是：

其它微分運算元，像、，都可以用坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函式，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函式的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。