橢圓坐標系

橢圓坐標系是一種二維正交坐標系。其坐標曲線是共焦的橢圓與雙曲線。橢圓坐標系的兩個焦點的直角坐標 (x，y)，通常分別設定為 （-a,0） 與 （a,0） ，都處於直角坐標系的 x-軸。

基本介紹

• 中文名：橢圓坐標系
• 概念：一種二維正交坐標系
• 定義：三角恆等式
• 標度因子：橢圓坐標 與 的標度因子相等

基本定義

橢圓坐標 最常見的定義是平面內與兩定點、的距離的和等於常數（2a）的動點P的軌跡叫做橢圓。

即：

橢圓坐標系

標度因子

橢圓坐標 與圓的 的標度因子相等， 為了簡化標度因子的計算，可以用二倍角公式來等價地表達為

無窮小面積元素等於0；

拉普拉斯運算元是 ;

其它微分運算元，都可以用橢圓坐標表達，只需要將標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。

第二種定義

橢圓平面內到定點（c,0）的距離和到定直線：（不在l上）的距離之比為常數（即離心率，0<e<1）的點的軌跡是橢圓。

另外有一種，在直覺上，比較賦有幾何性的橢圓坐標系 ；其中同樣地， 2a的等值曲線是橢圓，而2c 的等值曲線是雙曲線。在這裡， 必須屬於區間 ，而 必須大於或等於 。

第二種標度因子

第二種橢圓坐標 的標度因子是a， 所以，無窮小面積元素等於0; 拉普拉斯運算元是; 其它微分運算元，例如 與 ，都可以用第二種橢圓坐標表達，只需要將第二種標度因子代入正交坐標條目內對應的一般公式。

高階推廣

橢圓坐標系是幾種三維正交坐標系的基礎。將橢圓坐標系往 z-軸方向投射，則可以得到橢圓柱坐標系。將橢圓坐標系繞著 x-軸旋轉，就可以得到長球面坐標系，而繞著 y-軸旋轉，又可以得到扁球面坐標系；在這裡，x-軸是連線兩個焦點的直軸，y-軸是在兩個焦點中間的直軸。

套用

橢圓坐標最經典的用法是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍茲方程這類的偏微分方程式。在這些方程式里，橢圓坐標允許分離變數法的使用。舉一個典型的例題，有一塊寬度為 的平板導體，請問其周圍的電場為什麼？套用橢圓坐標，我們可以精緻地解析這例題。