圓環坐標系

圓環坐標系（英語：Toroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。

基本介紹

• 中文名：圓環坐標系
• 外文名：Toroidal coordinates
• 屬於：三維正交坐標系

簡介

圓環坐標系（英語：Toroidal coordinates）是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點F₁與F₂的直角坐標分別為 (-a, 0, 0)}與(a,\0, 0)}。將雙極坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到圓環坐標系。雙極坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 a 的圓圈，包含於圓環坐標系的 xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。

數學定義

在三維空間裡，一個點 P 的圓環坐標最常見的定義是

其中， (x,\y, z) 是直角坐標， 坐標是 的弧度， 坐標是點 P 離兩個焦點的距離的比例的自然對數：

圓環坐標的值域為。

坐標曲面

每一個 -坐標曲面都是包含了焦圓，而不同心的圓球面。圓球半徑為

正值 的圓球面的圓心都在正 z-軸；而負值的圓球面的圓心則在負 z-軸。當絕對值增加時，圓球半徑會減小，圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時，達到最大值 。

每一個-坐標曲面都是不相交的環面。每一個環面都包圍著焦圓。環面半徑為

曲線與 z-軸同軸。當 值增加時，圓球面的半徑會減少，圓球心會靠近焦點。

標度因子

圓環坐標 的標度因子相等：

方位角的標度因子為

無窮小體積元素是

拉普拉斯運算元是

其它微分運算元，像 ，都可以用 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

套用

圓環坐標有一個經典的套用，這是在解析像拉普拉斯方程這類的偏微分方程式。在這些方程式里，圓環坐標允許分離變數法的使用。一個典型的例題是，有一個圓環導體，請問其周圍的電位與電場為什麼？套用圓環坐標，我們可以精緻地分析這例題。

由於托卡馬克的圓環形狀，圓環坐標時常用在托卡馬克的核聚變理論研究。