雅可比行列式

雅可比行列式通常稱為雅可比式(Jacobian)，它是以n個n元函式的偏導數為元素的行列式 。事實上，在函式都連續可微（即偏導數都連續）的前提之下，它就是函式組的微分形式下的係數矩陣（即雅可比矩陣）的行列式。 若因變數對自變數連續可微，而自變數對新變數連續可微,則因變數也對新變數連續可微。這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。也類似於導數的連鎖法則。偏導數的連鎖法則也有類似的公式；這常用於重積分的計算中。

基本介紹

• 中文名：雅可比行列式
• 外文名：Jacobian
• 別稱：雅可比式
• 提出者：雅可比
• 套用學科：高等數學

正文

雅可比行列式是以n個n元函式 的偏導數為元素的行列式，常記為 。事實上,在函式都連續可微（即偏導數都連續）的前提之下，函式組的微分形式為 的係數矩陣（即雅可比矩陣）的行列式。

如果在一個連通區域內雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負。如果雅可比行列式恆等於零，則函式組是函式相關的，其中至少有一個函式是其餘函式的一個連續可微的函式。

證明

若因變數 對自變數 連續可微，而自變數 對新變數 連續可微,則因變數 對新變數 連續可微，且

這可用行列式的乘法法則和偏導數的連鎖法則直接驗證。偏導數的連鎖法則也有類似的公式。如當(u，v)對(x，y，z)連續可微，而(x，y，z)對(r，s)連續可微時，便有

若上式中r能回到u，則

這時必須有 。

於是以此為係數行列式的聯立線性方程組中能把 解出來。

由隱函式存在定理可知，在 對連續可微的前提下,只須 便足以保證 也對 連續可微。這樣,連續可微函式組便在雅可比行列式不等於零的條件之下,在每一對相應點u與x的鄰近範圍內建立起點與點之間的一個一對一的對應關係。

在n=2的情形，以Δx₁,Δx₂為鄰邊的矩形(ΔR)對應到(u₁,u₂)平面上的一個曲邊四邊形(ΔS),其面積ΔS關於Δx₁,Δx₂的線性主要部分，即面積微分是。這常用於重積分的計算中。

如果在一個連通區域內雅可比行列式處處不為零，它就處處為正或者處處為負（其正負號標誌著u-坐標系的旋轉定向是否與x-坐標系的一致）。如果雅可比行列式恆等於零,則函式組是函式相關的,其中至少有一個函式是其餘函式的一個連續可微的函式。