基本介紹
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基本簡介
由於研究關聯著多個因素的量所引起的問題，則需要考察多元函式。如果所研究的關聯性是線性的，那么稱這個問題為線性問題。歷史上線性代數的第一個問題是關於解線性方程組的問題，而線性方程組理論的發展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創立與發展，這些內容已成為我們線性代數教材的主要部分。最初的線性方程組問題大都是來源於生活實踐，正是實際問題刺激了線性代數這一學科的誕生與發展。另外，近現代數學分析與幾何學等數學分支的要求也促使了線性代數的進一步發展。
線性代數有三個基本計算單元：向量(組)，矩陣，行列式，研究它們的性質和相關定理，能夠求解線性方程組，實現行列式與矩陣計算和線性變換，構建向量空間和歐式空間。線性代數的兩個基本方法是構造（分解）和代數法，基本思想是化簡（降解）和同構變換。
行列式
行列式出現於線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達式，現在已經是數學中一種非常有用的工具。行列式是由萊布尼茨和日本數學家關孝和發明的。 1693 年4 月，萊布尼茨在寫給洛比達的一封信中使用並給出了行列式，並給出方程組的係數行列式為零的條件。同時代的日本數學家關孝和在其著作《解伏題元法》中也提出了行列式的概念與算法。
1750 年，瑞士數學家克萊姆(G.Cramer,1704-1752) 在其著作《線性代數分析導引》中，對行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，並給出了現在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則。稍後，數學家貝祖(E.Bezout,1730-1783) 將確定行列式每一項符號的方法進行了系統化，利用係數行列式概念指出了如何判斷一個齊次線性方程組有非零解。
在行列式的發展史上，第一個對行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人，是法國數學家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796) 。范德蒙自幼在父親的指導下學習音樂，但對數學有濃厚的興趣，後來終於成為法蘭西科學院院士。特別地，他給出了用二階子式和它們的餘子式來展開行列式的法則。就對行列式本身這一點來說，他是這門理論的奠基人。 1772 年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規則，推廣了他的展開行列式的方法。
繼柯西之後，在行列式理論方面最多產的人就是德國數學家雅可比(J.Jacobi,1804-1851) ，他引進了函式行列式，即“雅可比行列式”，指出函式行列式在多重積分的變數替換中的作用，給出了函式行列式的導數公式。雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質》標誌著行列式系統理論的建成。由於行列式在數學分析、幾何學、線性方程組理論、二次型理論等多方面的套用，促使行列式理論自身在19世紀也得到了很大發展。整個19 世紀都有行列式的新結果。除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關特殊行列式的其他定理都相繼得到。
矩陣
矩陣是數學中的一個重要的基本概念，是代數學的一個主要研究對象，也是數學研究和套用的一個重要工具。“矩陣”這個詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數字的矩形陣列區別於行列式而發明了這個述語。而實際上，矩陣這個課題在誕生之前就已經發展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質也是在行列式的發展中建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應先於行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。
英國數學家凱萊(A.Cayley,1821-1895) 一般被公認為是矩陣論的創立者，因為他首先把矩陣作為一個獨立的數學概念提出來，並首先發表了關於這個題目的一系列文章。凱萊同研究線性變換下的不變數相結合，首先引進矩陣以簡化記號。 1858 年，他發表了關於這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報告》，系統地闡述了關於矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運算法則、矩陣的轉置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結合性。另外，凱萊還給出了方陣的特徵方程和特徵根（特徵值）以及有關矩陣的一些基本結果。凱萊出生於一個古老而有才能的英國家庭，劍橋大學三一學院大學畢業後留校講授數學，三年後他轉從律師職業，工作卓有成效，並利用業餘時間研究數學，發表了大量的數學論文。
1855 年，埃米特(C.Hermite,1822-1901) 證明了別的數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來 ，克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆(A.Buchheim) 等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯(H.Taber) 引入矩陣的跡的概念並給出了一些有關的結論。
在矩陣論的發展史上，弗羅伯紐斯(G.Frobenius,1849-1917) 的貢獻是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、契約矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，並討論了正交矩陣與契約矩陣的一些重要性質。 1854 年，約當研究了矩陣化為標準型的問題。 1892 年，梅茨勒(H.Metzler) 引進了矩陣的超越函式概念並將其寫成矩陣的冪級數的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要是適用方程發展的需要而開始的。
矩陣本身所具有的性質依賴於元素的性質，矩陣由最初作為一種工具經過兩個多世紀的發展，現在已成為獨立的一門數學分支——矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現代理論。矩陣及其理論現已廣泛地套用於現代科技的各個領域。
方程組
線性方程組的解法，早在中國古代的數學著作《九章算術 方程》章中已作了比較完整的論述。其中所述方法實質上相當於現代的對方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，線性方程組的研究是在 17 世紀後期由萊布尼茨開創的。他曾研究含兩個未知量的三個線性方程組組成的方程組。麥克勞林在 18 世紀上半葉研究了具有二、三、四個未知量的線性方程組，得到了現在稱為克萊姆法則的結果。克萊姆不久也發表了這個法則。 18世紀下半葉，法國數學家貝祖對線性方程組理論進行了一系列研究，證明了 元齊次線性方程組有非零解的條件是係數行列式等於零。
19 世紀，英國數學家史密斯(H.Smith) 和道奇森(C-L.Dodgson) 繼續研究線性方程組理論，前者引進了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，後者證明了 個未知數 個方程的方程組相容的充要條件是係數矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現代方程組理論中的重要結果之一。
大量的科學技術問題，最終往往歸結為解線性方程組。因此線上性方程組的數值解法得到發展的同時，線性方程組解的結構等理論性工作也取得了令人滿意的進展。現在，線性方程組的數值解法在計算數學中占有重要地位。
二次型
二次型也稱為“二次形式”，數域P上的 n元二次齊次多項式稱為數域 P上的n元二次型。二次型是我們線性代數教材的後繼內容，為了我們後面的學習，這裡對於二次型的發展歷史我們也作簡單介紹。二次型的系統研究是從 18 世紀開始的，它起源於對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論。將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀，這個問題是在 18 世紀引進的。柯西在其著作中給出結論：當方程是標準型時，二次曲面用二次項的符號來進行分類。然而，那時並不太清楚，在化簡成標準型時，為何總是得到同樣數目的正項和負項。西爾維斯特回答了這個問題，他給出了 個變數的二次型的慣性定律，但沒有證明。這個定律後被雅可比重新發現和證明。 1801 年，高斯在《算術研究》中引進了二次型的正定、負定、半正定和半負定等術語。
二次型化簡的進一步研究涉及二次型或行列式的特徵方程的概念。特徵方程的概念隱含地出現在歐拉的著作中，拉格朗日在其關於線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個概念。而三個變數的二次型的特徵值的實性則是由阿歇特(J-N.P.Hachette) 、蒙日和泊松(S.D.Poisson,1781-1840) 建立的。
1851 年，西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面的切觸和相交時需要考慮這種二次曲線和二次曲面束的分類。在他的分類方法中他引進了初等因子和不變因子的概念，但他沒有證明“不變因子組成兩個二次型的不變數的完全集”這一結論。
1858 年，魏爾斯特拉斯對同時化兩個二次型成平方和給出了一個一般的方法，並證明，如果二次型之一是正定的，那么即使某些特徵根相等，這個化簡也是可能的。魏爾斯特拉斯比較系統的完成了二次型的理論並將其推廣到雙線性型。
從解方程到群論
求根問題是方程理論的一個中心課題。 16 世紀，數學家們解決了三、四次方程的求根公式，對於更高次方程的求根公式是否存在，成為當時的數學家們探討的又一個問題。這個問題花費了不少數學家們大量的時間和精力。經歷了屢次失敗，但總是擺脫不了困境。
到了 18 世紀下半葉，拉格朗日認真總結分析了前人失敗的經驗，深入研究了高次方程的根與置換之間的關係，提出了預解式概念，並預見到預解式和各根在排列置換下的形式不變性有關。但他最終沒能解決高次方程問題。拉格朗日的弟子魯菲尼 (Ruffini,1765-1862) 也做了許多努力，但都以失敗告終。高次方程的根式解的討論，在挪威傑出數學家阿貝爾那裡取得了很大進展。阿貝爾 (N.K.Abel,1802-1829) 只活了 27 歲，他一生貧病交加，但卻留下了許多創造性工作。 1824 年，阿貝爾證明了次數大於四次的一般代數方程不可能有根式解。但問題仍沒有徹底解決，因為有些特殊方程可以用根式求解。因此，高於四次的代數方程何時沒有根式解，是需要進一步解決的問題。這一問題由法國數學家伽羅瓦全面透徹地給予解決。
伽羅瓦 (E.Galois,1811-1832) 仔細研究了拉格朗日和阿貝爾的著作，建立了方程的根的“容許”置換，提出了置換群的概念，得到了代數方程用根式解的充分必要條件是置換群的自同構群可解。從這種意義上，我們說伽羅瓦是群論的創立者。伽羅瓦出身於巴黎附近一個富裕的家庭，幼時受到良好的親職教育，只可惜，這位天才的數學家英年早逝， 1832 年 5 月，由於政治和愛情的糾葛，在一次決鬥中被打死，年僅 21 歲。
置換群的概念和結論是最終產生抽象群的第一個主要來源。抽象群產生的第二個主要來源則是戴德金(R.Dedekind,1831-1916) 和克羅內克(L.Kronecker,1823-1891) 的有限群及有限交換群的抽象定義以及凱萊(A.Kayley,1821-1895) 關於有限抽象群的研究工作。另外，克萊因(F.Clein,1849-1925) 和龐加萊(J-H.Poincare,1854-1912) 給出了無限變換群和其他類型的無限群， 19 世紀 70 年代，李 (M.S.Lie,1842-1899) 開始研究連續變換群，並建立了連續群的一般理論，這些工作構成抽象群論的第三個主要來源。
1882-1883 年，迪克(W.vondyck,1856-1934) 的論文把上述三個主要來源的工作納入抽象群的概念之中，建立了（抽象）群的定義。到 19 世紀 80 年代，數學家們終於成功地概括出抽象群論的公理體系。
