高次方程又稱為整式方程，未知數次數最高項次數高於2次的方程均可稱為高次方程。
基本介紹
- 中文名：高次方程
- 外文名：High-order equation
- 含義：次數最高項次數高於2次的方程
- 方法：bairstow法
- 學科：數學、統計學
背景,定義及形式,解法,例子,
背景
伽羅華（Galois，1811——1832），法國數學家。
伽羅華15歲進入巴黎有名公立中學學習，偏愛數學。後來想進工科大學，兩次落榜只進一所代等的預備學校，此時，他專攻五次方程代數解法。第一年寫了四篇文章，1828年，17歲的伽羅華寫了《關於五次方程的代數解法問題》等兩篇論文送交法國科學院，但被柯西（Cauchy,1789——1875）遺失，後來，他又把一篇文章送給傅利（Fourier，1768——1830）。不久，傅利就去世了，也就不了了之。1831年，伽羅華完成了《關於用根式解方程的可解性條件》一文，院士普阿松（Poisson，1781-1840）的審查意見卻是“完全不能理解”，予以退回。伽羅華不幸因決鬥受重傷於1832年5月31日離世，時年不滿21歲，在決鬥前夜，他深知為女友決鬥而死毫無意義，但又不甘示弱，當晚他精神高度緊張和極度不安，連呼“我沒有時間了！”匆忙之中，把他關於方程論的發現草草寫成幾頁說明寄給他的朋友，並附有如下一段話：“你可以公開地請求雅可比（Jacobi）或高斯，不是對於這些定理的真實性而是對於其重要性表示意見，將來我希望有人會發現這堆東西注釋出來對於他們是有益的。”
隨著時間的推移，伽羅華的卓越貢獻越來越為數學家所認識。他的學術思想對近代數學產生了深遠的影響：他開創的群論逐漸滲透到數學其它分支，以及結晶學，理論物理學等領域，群論給這些領域提供了有力的數學工具比如用群論證明了結晶體的類型只有230種，群論為諸如方程的根，晶體的結構，空間變換，基本粒子的對稱性等課題的研究提供統一的方法。到20世紀，群論的概念在整個數學中占有重要的地位，成為現代數學的基礎之一。
但伽羅華只給出了能否根式求解的判別方法，沒有給出具體的求解方法。通常情況下求精確值比較困難，工程上只需要求解近似根即可，常用的求解近似根的方法有牛頓切線法，牛頓割線法，二分法，劈因子法，林士諤-趙訪熊法等。
定義及形式
定義：
整式方程未知數次數最高項次數高於2次的方程，稱為高次方程。
高次方程的一般形式為：
等式兩邊同時除以最高項係數，得：
所以高次方程一般形式又可寫為
解法
解法思想是通過適當的方法，把高次方程化為次數較低的方程求解。對於5次及以上的一元高次方程沒有通用的代數解法和求根公式（即通過各項係數經過有限次四則運算和乘方和開方運算無法求解），這稱為阿貝爾定理。 換句話說，只有次數為2,3,4次方程才有求根公式。但並不排除對一些特殊的高次方程有根式解，比如
有根式解。
通過適當的方法，把高次方程化為次數較低的方程求解．
按這個高次方程的形式
例子
一元三次方程
，判別式
