二元高次方程組

二元高次方程組(system of binary equations of higher degree)是一種代數方程組，若兩個代數方程f(x，y)=0，g(x，y)=0組成的方程組中的f(x，y)，g(x，y)是復係數二元多項式，其中至少有一個為高次的，則稱次方程組為二元高次方程組。

基本介紹

• 中文名：二元高次方程組
• 外文名：system of binary equations of higher degree
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等代數(多項式)
• 簡介：一種代數方程組

基本介紹

若代數方程組

中的f(x，y)，g(x，y)是復係數二元多項式，其中至少有一個為高次的，則稱(1)為二元高次方程組。

二元高次方程組的解法

解方程組(1)的一般方法是把f(x，y)與g(x，y)看成x的多項式，設

式中a_i(y)，b_j(y)是y的復係數多項式，i=0，1，…，n;j=0，1，…，m.設結式R_x(f，g)為

則m+n階行列式R_x(f，g)是y的復係數多項式，若(x₀，y₀)是方程組(1)的複數解，則y₀是R_x(f，g)的復根；反之，若y₀是R_x(f，g)的復根，則a₀(y₀)=b₀(y₀)=0，或者存在複數x₀，使(x₀，y₀)是方程組(1)的複數解(參見“結式”).，因此，為了解方程組(1)，可先求高次方程R_x(f，g)=0的全部根，再把R_x(f，g)=0的每個根代入方程組(1)，求x的值，這樣就得到方程組(1)的全部解.對於多個未知數的高次方程組，可用與上述類似方法求解。

相關定理

引理 設，是數域P上的兩個非零多項式，不全為零，則在中有非常數的公因式，使得這裡。

定理1設則，g(x)在P[x]中有非常數的公因式或全為0。

定理2 若是的一個複數解，則y₀是R_x(f，g)的一個根，反之，若y₀是R_x(f，g)的一個復根，那么，或者存在一個複數使是上方程組的一個解。

欲求二元高次方程組：

的解，可先求關於y的一元多項式R_x(f，g)在複數域內的根，設y₀為其任意一個根，然後再求與的公共根，於是一切數組就是方程組(1)的全部解，這就是說方程組(1)的求解，完全轉化成了求一元多項式R_x(f，g)與d(x)在複數域內的全部根，可惜的是，由於求一元多項式的復根並不總能實現，因此在理論上說有了解二元高次方程組的方法，但從實際上來講，它的解並不一定都能求得出來，另外，以上都是把寫成關於x的多項式，稱消去x而求關於y的一元多項式R_x(f，g)的根，當然，x與y是對稱的，我們也可以把寫成關於y的多項式，即消去y而求關於x的一元多項式R_y(f，g)的根。