基本介紹
- 中文名：解一元三次方程
- 外文名：Avoids solving the cubic equation
- 別稱：卡爾丹公式
- 表達式：X^3+pX+q=0 (p、q∈R)
- 提出者：尼柯洛·馮塔納（Niccolo Fontana）
- 提出時間：十六世紀
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：動力工程、數學教學及其他領域等
歷史過程,卡爾丹公式,其他方法,因式分解法,一種換元法,導數求解法,盛金公式法,盛金定理,錯解舉例,正確解題,
歷史過程
馮塔納出身貧寒，少年喪父，家中也沒有條件供他念書，但是他通過艱苦的努力，終於自學成才，成為十六世紀義大利最有成就的學者之一。由於馮塔納患有“口吃”症，所以當時的人們暱稱他為“塔塔里亞”（Tartaglia）， 也就是義大利語中“結巴”的意思。後來的很多數學書中，都直接用“塔爾塔里亞”來稱呼馮塔納。經過多年的探索和研究，馮塔納利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。這個成就，使他在幾次公開的數學較量中大獲全勝，從此名揚歐洲。但是馮塔納不願意將他的這個重要發現公之於世，因為那個年代義大利盛行打數學擂台賽，馮塔納把他解三次方程的秘訣作為法寶，是他獲得比賽的勝利的寶劍。
當時的另一位義大利數學家兼醫生卡爾丹（有的資料也稱為卡丹，卡爾達諾），對馮塔納的發現非常感興趣。他幾次誠懇地登門請教，希望獲得馮塔納的求根公式。可是馮塔納始終守口如瓶，滴水不漏。雖然卡爾丹諾屢次受挫，但他極為執著，軟磨硬泡地向馮塔納“挖秘訣”。後來，馮塔納終於用一種隱晦得如同咒語般的語言，把三次方程的解法“透露”給了卡爾丹。馮塔納認為卡爾丹諾很難破解他的“咒語”，可是卡爾丹的悟性太棒了，他通過解三次方程的對比實踐，很快就徹底破譯了馮塔納的秘密。卡爾丹把馮塔納的三次方程求根公式，寫進了自己的學術著作《大法》中，但並未提到馮塔納的名字。隨著《大法》在歐洲的出版發行，人們才了解到三次方程的一般求解方法。由於第一個發表三次方程求根公式的人確實是卡爾丹，因此後人就把這種求解方法稱為“卡爾丹公式”，有的資料也稱為“卡丹公式”。卡爾丹剽竊他人的學術成果，並且據為已有，這一行為在人類數學史上留下了不甚光彩的一頁。這個結果，對於付出艱辛勞動的馮塔納當然是不公平的。但是，馮塔納堅持不公開他的研究成果，也不能算是正確的做法，起碼對於人類科學發展而言，是一種不負責任的態度。
解一元三次方程問題是世界數學史上較著名且較為複雜而又有趣味的問題，虛數概念的引進、複數理論的建立，就是起源於解三次方程問題。一元三次方程套用廣泛，如電力工程、水利工程、建築工程、機械工程、動力工程、數學教學及其他領域等。用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，並有相應的判別法，但是使用卡爾丹公式解題比較複雜，缺乏直觀性。上世紀80年代，中國的一名中學數學教師范盛金對解一元三次方程問題進行了深入的研究和探索，發明了比卡爾丹公式更實用的新求根公式——盛金公式，並建立了簡明的、直觀的、實用的新判別法——盛金判別法，同時提出了盛金定理，盛金定理清晰地回答了解三次方程的疑惑問題，且很有趣味。盛金公式的特點是由最簡重根判別式A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd和總判別式Δ=B^2－4AC來構成，體現了數學的有序、對稱、和諧與簡潔美，簡明易記、解題直觀、準確高效，特別是當Δ=B^2－4AC=0時，盛金公式3：X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2，其中K=B/A，(A≠0)，其表達式非常漂亮，不存在開方（此時的卡爾丹公式仍存在開立方），手算解題效率高。盛金公式3被稱為超級簡便的公式。盛金公式與判別法及定理形成了一套完整的、簡明的、實用的、具有數學美的解三次方程的理論體系，范盛金創造出的這套萬能的系統方法，對研究解高次方程問題及提高解三次方程的效率作出了貢獻。
卡爾丹公式
卡爾丹公式法
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。
判別式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。
X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)；
X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2；
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω，
其中ω=(－1+i3^(1/2))/2；
Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
標準型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
令X=Y—b/(3a)代入上式。
可化為適合卡爾丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
卡爾丹判別法
當Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0時，方程有一個實根和一對共軛虛根；
當Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0時，方程有三個實根，其中有一個兩重根；
當Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0時，方程有三個不相等的實根。
其他方法
因式分解法
因式分解法不是對所有的三次方程都適用，只對一些簡單的三次方程適用．對於大多數的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。當然，對一些簡單的三次方程能用因式分解求解的，當然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。
例如：解方程x^3-x=0
對左邊作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三個根：x1=0；x2=1；x3=-1。
一種換元法
對於一般形式的三次方程，先將方程化為x^3+px+q=0的特殊型。
導數求解法
利用導數，求的函式的極大極小值，單調遞增及遞減區間，畫出函式圖像，有利於方程的大致解答，並且能快速得到方程解的個數，此法十分適用於高中數學題的解答。
如f(x）=x^3+x+1,移項得x^3+x=-1,設y1=x^3+x,y2=-1,
y1的導數y1'=3x^2+1,得y1'恆大於0，y1在R上單調遞增，所以方程僅一個解，且當y1=-1時x在-1與-2之間，可根據f(x1)f(x2)<0的公式，無限逼近，求得較精確的解。
盛金公式法
盛金公式1
盛金公式2
盛金公式3
盛金公式4
盛金判別法盛金定理
當b=0，c=0時，盛金公式1無意義；當A=0時，盛金公式3無意義；當A≤0時，盛金公式4無意義；當T<－1或T>1時，盛金公式4無意義。
當b=0，c=0時，盛金公式1是否成立？盛金公式3與盛金公式4是否存在A≤0的值？盛金公式4是否存在T<－1或T>1的值？盛金定理給出如下回答：
盛金定理1：當A=B=0時，若b=0，則必定有c=d=0（此時，方程有一個三重實根0，盛金公式1仍成立）。
盛金定理2：當A=B=0時，若b≠0，則必定有c≠0（此時，適用盛金公式1解題）。
盛金定理3：當A=B=0時，則必定有C=0（此時，適用盛金公式1解題）。
盛金定理4：當A=0時，若B≠0，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）。
盛金定理5：當A<0時，則必定有Δ>0（此時，適用盛金公式2解題）。
盛金定理6：當Δ=0時，若A=0，則必定有B=0（此時，適用盛金公式1解題）。
盛金定理7：當Δ=0時，若B≠0，盛金公式3一定不存在A≤0的值（此時，適用盛金公式3解題）。
盛金定理8：當Δ<0時，盛金公式4一定不存在A≤0的值。（此時，適用盛金公式4解題）。
盛金定理9：當Δ<0時，盛金公式4一定不存在T≤-1或T≥1的值，即T出現的值必定是-1<T<1。
顯然，當A≤0時，都有相應的盛金公式解題。
注意：盛金定理逆之不一定成立。如：當Δ>0時，不一定有A<0。
盛金定理表明：盛金公式始終保持有意義。任意實係數的一元三次方程都可以運用盛金公式直觀求解。
當Δ=0時，盛金公式3不存在開方；當Δ=0(d≠0)時，卡爾丹公式仍存在開立方。與卡爾丹公式相比較，盛金公式的表達形式較簡明，使用盛金公式解題較直觀、效率較高；盛金判別法判別方程的解較直觀。重根判別式A=b^2-3ac；B=bc-9ad；C=c^2-3bd是最簡明的式子，由A、B、C構成的總判別式Δ=B^2－4AC也是最簡明的式子（是非常美妙的式子），其形狀與一元二次方程的根的判別式相同；盛金公式2中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式，這些表達形式體現了數學的有序、對稱、和諧與簡潔美。
以上盛金公式解法的結論，發表在《海南師範學院學報（自然科學版）》（第2卷，第2期；1989年12月，中國海南。國內統一刊號：CN46-1014），第91—98頁。范盛金，一元三次方程的新求根公式與新判別法。
錯解舉例
雖然判別式正確，然而此公式不正確！
例1、X^3+4X^2+24X-404=0
a=1 b=4 c=24 d=-404
A=-56 B=3732 C=5424 △=15142800
因為△>0，所以用盛金公式②
Y1=127.0626174 Y2=-115470626
X1=4.52506151=Ans
ans^3+4ans^2+24ans-404≠0
例2、X^3-18X^2+107x-210=0
a=1 b=-18 c=107 d=-210
A=306 B=-36 C=109 △=-132120
∵△<0 ，∴用盛金公式④
T=-1.028991511<-1
arccos-1.028991511=?
例3、 X^3-29X^2+264X-720=0
A=49 B=-1176 C=7056 △=0
∵△=0 ，∴用盛金公式③
K=144 X1=173 X2=X3=-72
而原方程之三根為5、12、12
5≠173 12≠-72
正確解題
上述三個例子是沒有正確運用盛金公式解題，因而得出錯誤的結果，但並不表示公式不正確。
正確地運用盛金公式解答上述三個例子如下：
例1、解方程X^3+4X^2+24X—404=0
a=1，b=4，c=24，d=—404。
A=—56；B=3732；C=5424，△=15142800。
∵△>0，∴套用用盛金公式2求解。
Y1=15.06261745；
Y2=—11659.06262。
X1=5.401913151；
X2，X3=—4.700956575±7.258741321i。
用韋達定理檢驗：
X1+X2+X3=—3.999999999；
X1(X2+X3)+X2X3=24；
X1X2X3=404.0000001。
—b/a=—4；
c/a=24；
—d/a=404。
經用韋達定理檢驗，結果正確。
例2、解方程X^3—18X^2+107X—210=0
a=1，b=—18，c=107，d=—210。
A=3；B=—36；C=109，△=—12。
∵△<0 ，∴套用盛金公式4求解。
θ=90°。
把有關值代入盛金公式4，得：
X1=5；X2=7；X3=6。
用韋達定理檢驗：
X1+X2+X3=18；
X1(X2+X3)+X2X3=107；
X1X2X3=210。
—b/a=18；
c/a=107；
—d/a=210。
經用韋達定理檢驗，結果正確。
例3、解方程X^3—29X^2+264X—720=0解：
a=1，b=—29，c=264，d=—720。
A=49；B=—1176；C=7056，△=0。
∵△=0 ，∴套用盛金公式3求解。
K=—24。
把有關值代入盛金公式3，得：
X1=5；X2=X3=12。
用韋達定理檢驗：
X1+X2+X3=29；
X1(X2+X3)+X2X3=264；
X1X2X3=720。
—b/a=29；
c/a=264；
—d/a=720。
經用韋達定理檢驗，結果正確。
