一元四次求根公式

定義

對於一般一元四次方程：

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0

設方程的四根分別為：

x1=(-b+A+B+K)/(4a)

x2=(-b-A+B-K)/(4a)

x3=(-b+A-B-K)/(4a)

x4=(-b-A-B+K)/(4a)

(A,B,K三個字母足以表示任意三個複數，根據韋達定理：方程四根之和為-b/a，所以當x1，x2，x3的代數式為原方程的三根時，那么x4形式的代數式必是方程的第四個根。)

將這四個代數式代入到韋達定理中可整理得：

x1+ x2+ x3+ x4= -b/a

x1x2 +x1x3+ x1x4+ x 2 x3 + x2x4+ x3 x4=(1/8a2)(3b2-A2-B2-K2)=c/ax1x2x3 +x1x2x4+ x1 x3 x4+ x2 x3 x4= (1/16a3)(-b3+bA2+bB2+Bk2+2ABK)= -d/a

x1x2 x3 x4=(1/256a4)(b4+ A4+B4+K4-2b2A2-2b2B2-2b2K2-2A2B2-2A2K2-2B2K2-8bABK)=e/a

整理後為：

A2+B2+K2=3b2-8ac——————————————————記為p

A2B2+A2K2+B2K2=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e——記為q

A2B2K2=(b3-4abc+8a2d)2———————————————記為r

由此可知：A2，B2，K2是關於一元三次方程

y3-py2+qy-r=0的三根

從而可解得±y11/2,±y21/2,±y31/2是A，B，K的解。

若y11/2, y21/2, y31/2是A，B，K的一組解（A，B，K具有輪換性，所以在代入時無須按照順序）

那么另外三組為

（y11/2,- y21/2,- y31/2

（- y11/2, y21/2, -y31/2

（-y11/2,- y21/2, y31/2

從而將以上任意一組解代入到所設代數式中，均可解得原四次方程的四根。