一元四次方程求根公式

一元四次方程求根公式，是數學代數學基本公式，由義大利數學家費拉里首次提出證明。一元四次方程是未知數最高次數不超過四次的多項式方程，套用化四次為二次的方法，結合一元二次方程求根公式求解。適用未知數最高次項的次數不大於四的多項式方程。其解法是受一元三次方程求解方法的啟發而得到的。除最初解法外，該方程式還有其他簡便解法。

基本介紹

• 中文名：一元四次方程求根公式
• 提出者：費拉里
• 套用學科：數學代數，物理學
• 適用領域範圍：未知數最高次數不超過四次的多項式方程
• 適用領域範圍：理科
• 簡化公式：天珩公式

來源

義大利數學家費拉里與一元四次方程的解法 卡當在《重要的藝術》一書中公布了塔塔利亞發現的一元三次方程求根公式之後，塔塔利亞譴責卡當背信棄義，提出要與卡當進行辯論與比賽。這場辯論與比賽在米蘭市的教堂進行，代表卡當出場的是卡當的學生費拉里。 費拉里(Ferrari L.,1522~1565)出身貧苦，少年時代曾作為卡當的僕人。卡當的數學研究引起了他對數學的熱愛，當其數學才能被卡當發現後，卡當就收他作了學生。 費拉里代替卡當與塔塔利亞辯論並比賽時，風華正茂，他不僅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辯論與比賽中取得了勝利，並由此當上了波倫亞大學的數學教授。 一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的啟發而得到的。一元三次方程是在進行了巧妙的換元之後，把問題歸結成了一元二次方程從而得解的。於是，如果能夠巧妙地把一元四次方程轉化為一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。

費拉里法

方程兩邊同時除以最高次項的係數可得 (1)

移項可得 (2)

兩邊同時加上，可將（2）式左邊配成完全平方，

方程成為 (3)

在（3）式兩邊同時加上

可得

(4)

（4）式中的y是一個參數。當（4）式中的x為原方程的根時，不論y取什麼值，（4）式都應成立。

特別，如果所取的y值使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，則對（4）對兩邊同時開方可以得到次數較低的方程。 為了使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，只需使它的判別式變成0，即 (5)

這是關於y的一元三次方程，可以通過塔塔利亞公式來求出y應取的實數值。

把由（5）式求出的y值代入（4）式後，（4）式的兩邊都成為完全平方，兩邊開方，可以得到兩個關於x的一元二次方程。

解這兩個一元二次方程，就可以得出原方程的四個根。

費拉里法經過簡化後，實際上可以這樣表述：

先將一元四次方程化為x⁴+bx³+cx²+dx+e=0

此方程是以下兩個一元二次方程的解： 

2x²+(b+M)x+2(y+N/M)=0

2x²+(b-M)x+2(y-N/M)=0

其中

M=√(8y+b²-4c)；N=by-d，（M≠0）

y是一元三次方程8y³-4cy²-(8e-2bd)y-e(b²-4c)-d²=0的任一實根。

費拉里發現的上述解法的創造性及巧妙之處在於：第一次配方得到（3）式後引進參數y，並再次配方把（3）式的左邊配成含有參數y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右邊也成為完全平方，從而把一個一元四次方程的求解問題化成了一個一元三次方程及兩個一元二次方程的求解問題。 不幸的是，就象塔塔利亞發現的一元三次方程求根公式被誤稱為卡當公式一樣，費拉里發現的一元四次方程求解方法也曾被誤認為是波培拉發現的

誤用：

不幸的是，就像塔塔利亞發現的一元三次方程求根公式被誤稱為卡當公式一樣，費拉里發現的一元四次方程求解方法也曾被誤認為是波培拉發現的。

置換群法

解法見圖片

說明：X1，X2，X3是某個三次方程的對稱多項式(X1+X2+X3，X1*X2+X2*X3+X3*X1，X1*X2*X3均可求)，利用三次方程求根公式解出X1,X2,X3；又有X=x1+x2+x3+x4=ω1，接下來根據X,X1,X2,X3解x1,x2,x3,x4

簡化求根公式

受費拉里法等一元四次方程求根公式的啟發，沈天珩對公式進行了簡化，並給出了更方便判斷方程實數解個數和重根情況的判別法則。且天珩公式中不存在任何虛數開方的情況，使運算更為簡單方便，也能藉此簡化計算機求根工具的代碼。以下是完整公式：

一般式：

重根判別式：

D=3b-8ac

E=-b+4abc-8ad

F=3b+16ac-16abc+16abd-64ae

A=D-3F

B=DF-9E

C=F-3DE

總判別式：

(1)當D=E=F=0時，方程有一個四重實根。

(2)當DEF≠0，A=B=C=0時，方程有四個實根，其中有一個三重根。

,

(3)當E=F=0，D≠0時，方程有兩對二重根；若D>0，根為實數；若D<0，根為虛數。

(4)當ABC≠0，Δ=0時，方程有一對二重實根；若AB>0，則其餘兩根為不等實根；若AB<0，則其餘兩根為共軛虛根。

,

其中，sgn表示符號因子。計算方法如下：

<1>當n=0時，sgn(n)=0。

<2>當n≠0時，sgn(n)=abs(n)/n，即 (下同)

(5)當Δ>0時，方程有兩個不等實根和一對共軛虛根。

令 ,

則有：

(6)當Δ<0時，若D與F均為正數，則方程有四個不等實根；否則方程有兩對不等共軛虛根。

令 , ,

<1>若E=0,D>0,F>0，

,

<2>若E=0,D<0,F>0，

,

<3>若E=0,F<0，

<4>若E≠0，一定存在max{y₁,y₂,y₃}=y₂；故若D或F中有非正值即方程無實數解時，sqrt(y₁)=sqrt(-y₁)i，sqrt(y₃)=sqrt(-y₃)i，而y₂始終為正。(sqrt代表二次根號)

此時有：

當D與F均為正時，四實根為：

,

當D或F中有非正值時，四虛根為：

,

公式中的總判別式B-4AC與三次方程盛金公式中的B-4AC以及二次方程求根公式中的b-4ac極為相似，體現了數學中的有序、對稱、和諧與簡潔美。

一般求根公式

四次方程 的求根公式過於複雜。為了描述方便，不得不藉助幾個中間變數。

或 （取模較大的數值）

（若 u 為零，則 v 也取值為零）

上面三個公式中，k 可取值 1,2,3。（m,S,T）的取值最好選擇 最大的一組，這樣計算 T 時數值最穩定。如果三個 均為零，則上面三個變數按下面三個公式取值

四個根為（下式中 ）

其它求根公式

維基百科上有一個非常複雜的公式。

它是方程 的四個根。將其拆分後，可得：

四個根為（下式中 ）

可見，這個公式是“一般求根公式”的一個特例。這個公式不僅複雜、難用，而且還不能處理 m = 0 的情況，如：求解方程 （等價於方程 ）時會失敗。