完全平方式

完全平方式是指如果滿足對於一個具有若干個簡單變元的整式A，如果存在另一個實係數整式B，使A=B^2的條件話，則稱A是完全平方式，亦可表示為(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。該公式是進行代數運算與變形的重要的知識基礎，是因式分解中常用到的公式。

基本介紹

• 中文名：完全平方式
• 外文名：Perfect square trinomial
• 公式1：a2+2ab+b2=(a+b)2
• 公式2：a2-2ab+b2=(a-b)2
• 相關術語：完全平方數
• 別稱：完全平方公式

定義及公式

完全平方公式：

（1）兩數和的平方，等於它們的平方和加上它們的積的2倍，即

（2）兩數差的平方，等於它們的平方和減去它們的積的2倍，即

（a－b）²=a²+b²－2ab

熟記口訣：首平方，尾平方，前後兩倍放中央，符號看前方。

這兩個公式的結構特徵：1）左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上或減去這兩項乘積的2倍；2）左邊兩項符號相同時，右邊各項全用“+”號連線；左邊兩項符號相反時，右邊平方項用“+”號連線後再“-”兩項乘積的2倍（註：這裡說項時未包括其符號在內）；3）公式中的字母可以表示具體的數（正數或負數），也可以表示單項式或多項式等數學式。

例子

（1） 是一個完全平方式，因為 ；

（2） 是一個完全平方式，因為 ；

（3）因為 ，所以 是一個完全平方式。

可以推出，

注意

（1）以上多項式，指的都是實係數多項式。所以不能稱 為完全平方式，因為不存在以 、 為變元的實係數多項式 ，使 。

（2）以上所說多項式，都是簡單變元的多項式，不能隨便稱一個代數式或三角函式式為完全平方式。例如

①儘管有 ，但是因為這裡 和 都不是多項式，所以代數式 不能被稱為完全平方式。

②儘管有 ，但是 也不能被稱為完全平方式。

準完全平方式

導言

如果把①改寫為 ，並將其中的 記為 ，這裡 是一個複合變元。

類似地在②中記 ， ；在③中記 ， 。那么 、 和 、 都是複合變元。

定義

若對於函式式 ，存在關於複合變元 的多項式 ，使 成立，則稱 是“準完全平方式”。(這裡 、 、……、 不全是簡單變元的多項式)。

例子

按照定義，上述①和② 都被稱為“準完全平方式”。

這裡所以要有 不全是簡單變元的多項式”的加注說明，主要為了區別出某些形式上貌似“準完全平方式”，但是本質上卻是一個典型的“完全平方式”的情況。