基本介紹
- 中文名：代數運算
- 外文名：Algebraic operation
- 屬性：數學術語
代數運算的意義,運算律,結合律,交換律,消去律,分配律,例題分析,
代數運算的意義
定義 （1）設A，B，D是集合，稱A×B到D的映射為A×B到D的代數運算。
註：(i) 代數運算是一種特殊映射；
(ii) A和B的次序一般不能交換；
(iii) 代數運算通常用符號“
”表示。
（2）一個A xA到A的代數運算稱為A上的(二元)代數運算。
按照這個定義，一個代數運算只是一種特殊的映射。因為在一般映射里，可能會涉及n個集合
和另一個集合D，這裡n可以是任何正整數。現在我們說的是一個特殊的映射．它只有兩個集合A和B，與另一個集合D發生關係，這種情況把它叫作是一個代數運算。讓我們看一看，為什麼把這樣的一個特殊映射叫作代數運算?假定我們有一個AxB到D的代數運算。按照定義，給了一個A的任意元a和一個B的任意元b，就可以通過這個代數運算得到一個D的元d。我們也可以說，所給代數運算能夠對a和b進行運算，而得到一個結果d。這正是普通的計算法的特徵，例如普通加法就是把任意兩個數加起來，而得到另一個數的運算。
代數運算既是一種特殊的映射，描寫它的符號，也可以特殊一點。一個代數運算我們用符號來表示(映射是用
表示)。
設有n元函式f：S1×S2×...×Sn→S中有S=S1=S2=...=Sn則稱f為S上的n元運算，或簡稱n元運算。當n=2時稱二元運算；n=1時稱一元運算。在代數系統中一般以討論二元運算為主(有時也討論一元運算)。一個運算可用一個運算符及若干個集合中元素組成。運算符中二元運算符常可用“
”“*”等表示，也可用“+”“×”等表示，但其中並不一定具有通常數字中的“加”“乘”的含義，一個運算的表示如x×y=z，a+b=c等均為二元運算的表示。
運算律
結合律
(i) 設是A上的一個代數運算，若a，b，c∈A有
(ii) 若集合A上的代數運算滿足結合律，則對A中任意n(n≥3)個元素無論怎樣加括弧，其結果都相等。
交換律
(i) 設是A上的一個代數運算，若
有
(ii) 若集合A上的代數運算既滿足結合律又滿足交換律。則對A中任意n個元素進行運算時可以任意結合和交換元素的前後次序，其結果均相等。
消去律
(i)設是A上的一個代數運算，若
有
(ii)設是A上的代數運算，若有
(iii)若既滿足左消去律又滿足右消去律。則稱滿足消去律。
分配律
(i)左分配律
①設集合A上有兩個代數運算和
，若有
②設集合A上有兩個代數運算和，若滿足結合律且對滿足左分配律，則
有
(ii)右分配律
①設集合A上有兩個代數運算和，若有
②設集合A上有兩個代數運算和，若滿足結合律且對滿足右分配律．則有
例題分析
【1】設Z是整數集．下列法則是Z上的代數運算的是哪些?
(i)普通加法
(ii)普通乘法
(iii)普通減法
(iv)普通除法
(v)
解：(i)、(ii)、(iii)是Z上的代數運算。
(iv)不是Z上的代數運算，因為
(v)不是Z上的代數運算，因為
解：代數運算不滿足結合律。
取a=2，b=3，c=3，則
