基本介紹
導言,基本結構,代數結構,序結構,結構的定義,對偶性原理,包含的代數,
導言
集合代數是研究集合運算和集合關係的基本性質的學科。研究這些性質可以深入探究集合的本質,也有助於實際套用。
像普通算術的表達和計算一樣,集合的表達和計算可能相當複雜。通過系統研究將有助於熟練使用和理解這些表達方式並進行計算。
在算術研究方面,是通過初等代數來研究算術的運算和關係的。
基本結構
集合上通常自然定義的結構包括:
包含(
):
若且唯若
;
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真包含(
):
若且唯若
且
;
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交(
):
定義為
且
;
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並(
):
定義為
或
;
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差(
):
定義為
且
(亦稱相對補);
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對稱差(
):
定義為
;
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補:補運算的前提是存在一個由上下文確定的全集X,其某個子集A對於X的補
定義為X-A。
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其它運算
冪集:
定義為
。(A的冪集是A所有子集構成的集合)
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特殊的集合
空集(
):沒有任何元素的集合。
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全集:這是一個由上下文確定的集合,通常上下文中其它的集合都是它的子集。
代數結構
代數結構是關於運算的結構。以下是集合間運算的基本性質:
- 冪等律
- 冪麼律
序結構
包含關係有如下性質:
自反性:
;(任何集合都是其本身的子集)
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反對稱性:
且
;(這是證明兩集合相等的常用手段之一)
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傳遞性:
且
;
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是集合間的一個非嚴格偏序關係。
真包含關係“
”有如下性質:
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反自反性:
不成立;
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非對稱性:
不成立;反之亦然;
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傳遞性:
且
;
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是集合間的一個嚴格偏序關係。
包含和真包含關係定義了集合間的一個偏序關係。在該偏序關係的意義下兩者等價,通常不失一般性地將該偏序關係指為
。
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結構的定義
顯然,上面的所有結果並不是獨立的,大部分結果都可以從一個很小的結構推導出來。
比如很容易知道:
對稱差可以用並和差來定義。
補可以用差來定義。
真包含關係可以用包含關係來定義。
包含關係可以用並,交,差之一來定義,這是因為
等價於以下任一命題:
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命題 1:對全集
的任意子集A,下列恆等式成立:
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(1)同一性:
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(2)補集律:
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上述五組性質:交換律、結合律、分配律、同一性和補集律,可以說包含了集合代數的所有內容,可以認為集合代數中所有正確的命題都是從它們得到的。
對偶性原理
上述命題有一個有趣的形式,就是每一組恆等式都是成對出現的。將 ∪ 和 ∩,或者 Ø 和U相互交換,一個恆等式就變成了相應的另一個。
這是集合代數的一個非常重要的性質,稱作集合的對偶性原理。它對集合的所有真命題都有效。真命題通過相互交換 ∪ 和 ∩,Ø 和U,改變包含符號的方向得到的對偶命題也是真的。若一個命題和其對偶命題相同,則稱其為自對偶的。
包含的代數
下列命題說明包含是種偏序關係。
命題 2:若A,B,C 為集合,則下述成立:
(1)自反性:
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(2)反對稱性:
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(3)傳遞性:
若
且
,則
。
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命題 3:若 A,B,C是集合 S 的子集,則下述成立:
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(2)存在並運算:
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若
且
則
。
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(3)存在交運算:
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若
且
則
。
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上述命題說明,集合的包含關係可以採用並集運算或交集運算來表示,即包含關係在公理體系中是多餘的。