最小元

最小元（least element）是一種特殊元素，指偏序集的子集中小於或等於一切元素的元素。與此相關的概念還有，極大元：指偏序集中沒有比它更大的可比較的元素；極小元：指偏序集中沒有與它可比較的更小的元素；最大元：指偏序集的子集中不小於一切的元素。

基本介紹

• 中文名：最小元
• 外文名：least element
• 涉及學科：離散數學
• 特點：若有最小元，則是惟一的
• 相關：極小元、極大元、最大元
• 性質：偏序集中的一種特殊元素

簡介

一種特殊元素，指偏序集的子集中小於或等於一切元素的元素。令<A，R>是偏序集， ，如果對每一個 都有bRx，則稱b是<B，R>的最小元。對給定的<B，R>不一定有最小元，若有最小元，則是惟一的。<A，R>的最小元稱為零元素，記為0。<B，R>的最小元是<B，R^-1>的最大元；反之亦真。最小元是惟一的極小元。

相關概念

極小元

偏序集中的一種特殊元素，指偏序集中沒有與它可比較的更小的元素。設<A，R>是偏序集， ，若不存在 ，使得 xRb 且 x≠b，則b稱為<B，R>的極小元。對給定的<B，R>可以有一個或多個極小元，也可以沒有極小元。若a與b是<B，R>的兩個不同的極小元，則 且 。當B為有限集時，<B，R>一定有極小元。

極大元

偏序集中的一種特殊元素，指偏序集中沒有比它更大的可比較的元素。設<A，R>是偏序集， ，若不存在 ，使得 bRx 且x≠b，則b稱為<B，R>的極大元。對給定的<B，R>可以有一個或多個極大元，也可以沒有極大元。若a與b是<B，R>的兩個不同的極大元，則 且 。當B為有限集時，<B，R>一定有極大元。

最大元

一種特殊元素，指偏序集的子集中不小於一切元素的元素。令<A，R>是偏序集， ，如果對每一個都有xRb，則稱b是<B，R>的最大元。對給定的<B，R>不一定有最大元，若有最大元，則是惟一的。<A，R>的最大元稱為單位元，記為1。<B，R>的最大元是<B，R^-1>的最小元；反之亦真。最大元是惟一的極大元。

區分

設<A，R>偏序集，B含於A；

①若y∈B滿足任取x∈B，y≤x→x=y，則稱y為B的極大元；(箭頭表示“蘊含”)

②若y∈B滿足任取x∈B，x≤y，則稱y為B的最大元；

易得最大元必是極大元，但極大元不一定是最大元，應注意極大元和最大元的區別。 最大元是B中最大的元素，它與B中其它元素都可比；而極大元不一定與B中其它元素都可比，只要沒有比它大的元素，它就是極大元。對於有窮集合B，極大元一定存在，但最大元不一定存在。最大元如果存在一定是唯一的，但極大元可能有多個。

請注意極小元和最小元的區別。最小元是B中最小的元素，它與B中其它元素都可比；而極小元不一定與B中其它元素都可比，只要沒有比它小的元素，它就是極小元。對於有窮集合B極小元一定存在，但最小元不一定存在。最小元如果存在一定是唯一的，但極小元可能有多個。