有界格

基本介紹

設S是格，如果存在元素a∈S，對於任意的x∈S，都有a≼x，則稱a為格S的全下界；如果存在元素b∈S，對於任意的b∈S，都有x≼b，則稱b為格S的全上界。

定理設S是格，若格S存在全下界或全上界，則一定是唯一的。

證明先證明全下界若存在，則必定唯一。

假設格S有全下界a和b，a，b∈S，根據全下界的定義有a≼b和b≼a。再根據偏序關係≼的反對稱性，必有a=b。即全下界唯一。

同理可證全上界若存在必唯一。

由於全上界和全下界的唯一性，一般將格S的全下界記為0，全上界記為1。

有界格 設S是格，若S存在全下界和全上界，則稱該格為有界格，並將S記為(S，∨，∧，0，1)。

【例1】設S是一個集合，則S的冪集格P(S)是有界格，其中空集∅是全下界，集合S是全上界。

【例2】 (1)設A是有限集合，則<P(A)，⊆>的零元是∅，單元是A。

(2)在正整數集合Z、關於整除關係構成的格中，零元是1，無單元。

(3)在整數集合Z關於小於等於關係構成的格中，無零元，無單元。

定理1 任何有限格一定是有界格。

定理2 設S是一個有界格，則對任意的a∈S有

a∨1=1，a∧1=a，a∨0=a，a∧0=0。

證明

因為a∨1∈S，且1是全上界，所以a∨1≼1，又因為1≼a∨1，因此a∨1=1。

因為a≼a，a≼1，所以口a≼a∧1，又因為a∧1≼a，因此a∧1=a。類似可證其餘二式成立。