偽補格

偽補格(pseudo-complemented lattice)是有補格概念的推廣。設L是有0的格，a∈L，若有元素a*∈L滿足a∧a*=0，且a∧x=0有x≤a*，則稱a*為a的偽補元。

基本介紹

• 中文名：偽補格
• 外文名：pseudo-complemented lattice
• 領域：數學
• 學科：格論
• 性質：有補格概念的推廣
• 元：偽補元

概念

偽補格(pseudo-complemented lattice)是有補格概念的推廣。設L是有0的格，a∈L，若有元素a*∈L滿足a∧a*=0，且a∧x=0有x≤a*，則稱a*為a的偽補元。每一元至多有一個偽補元。若格L的每一元都有偽補元，則稱L為偽補格。因為偽補概念只涉及交運算，所以可定義偽補交半格。設L是有0的分配格，則L的理想格I(L)是偽補格。

格

“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。

例如，一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按蘊涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。

格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及機率論等許多數學分支中都有套用。例如，在代數學中，對於一個群G與其子群格（G）之間關 系的研究。在數理邏輯中，關於不可解度的研究。

格的定義：設（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。

有補格

亦稱有餘格。一種特殊的有界格。在有界格〈L，≤〉中，對於L中的任意元素a，如果存在b∈L，使得a+b=1，a·b=0，則稱元素b是元素a的補元。如果一個有界格的每個元素都至少存在一個補元，則此格稱為有補格。補元是對稱的，如果a是b的補元，則b也是a的補元，也可以說，a和b這兩個元素是互補的。對於任一元素a∈A，可以存在多個補元，也可以不存在補元。例如，在上圖所示的有界格中，因為d∨c=1和d∧c=0，所以d和c是互補的。但b沒有補元，而a和d都是e的補元。

圖1有補格

理想格

亦稱幻格。由格的理想構成的一類格。指格L的一切理想的集合I(L)按集合的包含關係偏序化所構成的格。若J，K∈I(L)， J∧K=J∩K， J∨K=(J∪K]，稱為格L的理想格，其中(J∪K]是由J和K的並集生成的理想。格L的理想格I(L)是模格若且唯若L是模格。分配格L的理想格I(L)是完全布勞威爾格。

格論

格論論述次序及包含的性質，是布爾代數的推廣，現已成為代數的重要組成部分，並在泛函分析、賦值論、幾何、邏輯、計算機科學、圖論等方面有廣泛的套用。所謂格即指在集合L中定義兩個代數運算∨和∧，這兩個代數運算滿足：(1)a∨a = a ， a∧ a = a(冪等律)；(2)a ∨ b = b ∨ a，a ∧ b=b ∧ a(交換律)；(3)a ∨交換律；(3)a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨c，a ∧ b(b ∧ c)=(a∧b) ∧ c(結合律)；(4)a ∨ (a ∧b)=a，a ∧ (a∨ b)=a(吸收律)，記作(L，≤)。格論中最重要的概念是集合上的半序關係。格的種類有分配格、模格、完全格等。