二元運算

二元運算是由兩個元素形成第三個元素的一種規則。例如數的加法及乘法;更一般地,由兩個集合形成第三個集合的產生方法或構成規則稱為二次運算。

二元運算(Binary operation)作用於兩個對象的運算。如任意二數相加或相乘而得另一數；任意二集合相交或相併而得另一集合；任意一個多行矩陣與一個多列矩陣相乘而得另一矩陣；任意二函式合成而為另一函式，以上加、乘、交、並，積及合成均屬二元運算。

基本介紹

• 中文名：二元運算
• 外文名：binary operation; dyadic operation; binary composition
• 所屬領域：數理科學
• 套用對象：數、集合、矩陣、函式等
• 特徵：作用於兩個對象的運算

常見二元運算

數的二元運算

a+ba加b

a-b a減b

a x ba與b相乘

ab a與b相乘

a/b a除以b

a除以b

a除以b

集合的二元運算

定義1 設 是一個集合，且 是一個從 到 的映射。於是稱 為集合 X 中的n 元運算。稱整數 n 為運算的階。對

於n=2 來說，稱 為二元運算。

定義2 設A為集合，如果f是A×A到A的代數運算，則稱f是A上的一個二元運算，也稱作集合A對於代數運算f來說是封閉的。

矩陣的二元運算

矩陣代數，特別是矩陣的乘法規則，歸功於著名的英國代數學家凱利。他創立了特殊型式的超複數。矩陣的乘法可推廣到更高階矩陣。但要注意，要使乘法能進行，第一個矩陣的列數應與第二個矩陣的行數相同。凱利的規則(通常稱為行乘列法則)給出了mXn矩陣與nXk矩陣的乘積。

因為有些2×2矩陣或n×行矩陣沒有逆陣，所以這種矩陣的有些集合關於乘法不是群。還有，雖然矩陣乘法總滿足結合律，但在矩陣集上並不一定滿足交換律。這就使得矩陣的乘法系統可以作為乘法不滿足交換律的一些現代抽象代數結構的模型。由於方陣並非都是可逆的，故在矩陣的乘法系統中，不能將除法作為二元運算來看待。 凱利的矩陣代數還包括對“數乘"和加法的定義。數乘是一個一元運算，加法是矩陣的二元運算。數與矩陣相乘，就是將矩陣的每個元素都乘上該數。行數和列數分別相同的兩個矩陣可以相加，只要把相應元素相加，其和是有同樣的行數和列數的矩陣。

二元運算的性質

定義1 設“⊙”是非空集合A上的二元運算，如果對任意的a、b、c∈A，有(a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c)，則稱運算“⊙”滿足集合律。

定義2 設“⊙”是非空集合A上的二元運算，如果對任意的a,b∈A，有a⊙b=b⊙a，則稱運算“⊙”滿足交換律。

定義3 設(A；*，⊙)是一代數系統，如果對任意的a、b、c∈A，有

(1)a*(b⊙c)=(a*b)⊙(a*c)，則稱“*”對“⊙”有左分配律；

(2)(b⊙c)*a=(b*a)⊙(c*a)，則稱“*”對“⊙”有右分配律。